Explicando cómo no podemos dar cuenta de las preguntas sobre aceleración que cambian sin cálculo.

Question

Para contextualizar, soy un maestro de física de secundaria.

Estoy enseñando a los estudiantes sobre los conceptos básicos de la fuerza electromagnética entre dos cargas puntuales. La ecuación que utilizamos es $F=\frac{kq_1q_2}{r^2}$.

Esto nos da la fuerza instantánea y también nos da la aceleración instantánea. Tengo un estudiante que me pregunta por qué no analizamos las fuerzas y la aceleración en constante cambio a medida que los dos cuerpos se mueven hacia o alejándose el uno del otro. Por ejemplo, un protón y un electrón que comienzan a cierta distancia y aceleran hacia el otro.

La mejor respuesta que puedo dar es que no podemos analizar esto sin el uso de cálculo para permitir una aceleración cambiante. Este estudiante en particular es bastante avanzado, pero estoy buscando una respuesta que pueda usar a medida que avance en mi carrera.

En general, mi pregunta es si hay una explicación mejor que pueda darles que proporcione una comprensión más profunda. ¿O si cualquier comprensión de la aceleración cambiante requiere el uso de cálculo en todas o en la mayoría de las circunstancias? No estoy seguro si solo necesito una comprensión más profunda de dónde se deriva la ecuación o cómo se resumen estas interacciones en la simple ecuación.

Esto también, por supuesto, es para mi propio conocimiento.

Answer 1

De hecho, tienes que tener en cuenta el cambio en la distancia de separación entre objetos cargados al analizar la dinámica del sistema. Esto se hace matemáticamente a través del uso de ecuaciones diferenciales, que son ecuaciones "autoactualizables" que te dicen cómo se espera que cambien las cantidades en el próximo paso de tiempo (infinitesimal), dado la configuración actual de posiciones y velocidades.

Entonces, para responder a la pregunta de tus estudiantes, tendrías que escribir una ecuación diferencial y resolverla usando métodos de cálculo, como has mencionado. Para este problema en particular, la ecuación diferencial relevante sería $F=ma$, o $$m\frac{\text{d}^2\mathbf{r}}{\text{d}t^2} = \frac{kqq' \hat{\mathbf{r}}}{|\mathbf{r}|^2},$$ y encontrar la dinámica $\mathbf{r}(t)$ como una función del tiempo se logra resolviendo esta ecuación diferencial de segundo orden, y sustituyendo condiciones iniciales como $\mathbf{r}(t=0) = \mathbf{r}_0$, $\mathbf{v} = \partial_t\mathbf{r} = 0$, y $\mathbf{a} = \partial_t^2\mathbf{r} = 0$.

Pedagógicamente, podrías usar este escenario exacto como una motivación para la necesidad de ecuaciones diferenciales. Puedes construir pasos de tiempo discretos $t_1, t_2, \dots$ y calcular en cada momento cuáles son las posiciones, velocidades y aceleraciones (podrías hacer una tabla ordenada). La solución proporcionada por el cálculo es entonces el límite cuando la separación entre pasos de tiempo tiende a cero.

Answer 2

Primero, dales un ejemplo de "intentar hacerlo sin cálculo". Se vería así:

La aceleración de una partícula en el tiempo $t$ segundos es, digamos, $a=t^2$. ¿Cuál es el cambio en la velocidad entre $t$\=$0$ y $t$\=$2$s?

1. La aceleración en los primeros $0.5$ segundos varía de $0^2$ a $ 0.5^2$, o de $0$ a $0.25$. Como el cambio es relativamente pequeño, vamos a tomar la aceleración de todo el intervalo como una constante de $0.25$. El cambio en la velocidad es la aceleración multiplicada por el intervalo de tiempo = $0.25 *0.5=0.125$

2. La aceleración en los siguientes $0.5$ segundos varía de $0.5^2$ a $1^2$, o de $0.25$ a $1$. De nuevo, hagamos una aproximación general y tomemos la aceleración de todo este intervalo como $1$. Así, el cambio en la velocidad es $1*0.5=0.5$

3. De manera similar, en los siguientes $0.5s$, el cambio es $1.5^2 \cdot 0.5=1.125$.

4. En los últimos $0.5s$, el cambio es $2^2\cdot 0.5=2$

Ahora simplemente suma los cambios para obtener el cambio total en la velocidad: $0.125+0.25+1.125+2=3.75$ $ms^{-1}$

Con cálculo:

Primero, explícales por qué la respuesta anterior de $3.75 ms^{-1}$ está mal. Es porque es una sobreestimación. Por ejemplo, la aceleración en el primer medio segundo aumentó suavemente de $0$ a $0.25$. Pero nuestro cálculo fingió que la aceleración era $0.25$ para todo ese intervalo. Si hubiéramos sido más precisos, habríamos obtenido una mejor estimación.

¿Podemos ser alguna vez lo más precisos posible? Probablemente no si no usamos cálculo. Aquí, la aceleración tiene un valor diferente para CADA punto de tiempo. En $1s$, es $1$. Solo $0.01$ segundos después, es $1.01^2=1.0201$. Contabilizar la cantidad infinita de valores de aceleración sería como hacer una cantidad infinita de multiplicaciones y sumas.

Veamos la pregunta de manera diferente. La función de aceleración $t^2$ es responsable de los cambios instantáneos en la función de velocidad $v(t)$. Es, por definición, la derivada de $v(t)$. Nuestro trabajo es adivinar la respuesta a "¿Qué función tiene como derivada $t^2$?"

Dependiendo de la derivada, no siempre es posible hacer esta conjetura. Una solución en forma cerrada no siempre existe. Pero el caso de $t^2$ es lo suficientemente simple para tener una respuesta. Buscamos en nuestras tablas de derivadas y encontramos que $t^3/3+C$ tiene como derivada $t^2$. Por lo tanto, $t^3/3+C$ es la función de velocidad. Ahora podemos calcular precisamente el cambio en la velocidad simplemente restando las velocidades en $t=0s$ y $t=2s$. La constante desconocida $C$ se cancela.

Algunos problemas de ejemplo que se pueden resolver sin cálculo:

1. Cuando los cambios de aceleración son abruptos: Por ejemplo, una partícula tiene una aceleración de $1$ $ms^{-2}$ durante $2$ segundos y luego de $3 ms^{-2}$ durante $3$ segundos. Mientras los valores de aceleración se mantengan constantes durante un tiempo finito, podemos resolver el problema con aritmética básica.

2. $a=5t$

Esta función de aceleración está cambiando continuamente pero es lineal en el tiempo. Cuando graficas esto, el problema de encontrar el cambio en la velocidad aquí es equivalente a encontrar el área de un triángulo.

Obviamente tenemos una fórmula conocida para el área de un triángulo, así que NO NECESITAMOS cálculo aquí. Las tablas de integración son básicamente solo tablas de "fórmulas de área" para curvas más generales.

Answer 3

En una nota histórica, Isaac Newton estudió el mismo problema para la gravedad y presentó la solución en Principia Mathematica sin utilizar cálculo, aunque resulta que él había desarrollado y utilizado el cálculo en privado para desarrollar la solución, pero no quería publicarlo. Por lo tanto, expresó sus argumentos completamente en términos de geometría euclidiana, familiar para otros matemáticos y físicos.

Por lo tanto, puede hacerse sin cálculo, pero la razón principal por la que la ciencia adoptó el cálculo tan entusiastamente fue que hizo que fuera mucho más fácil entender y calcular que el enfoque puramente geométrico de Newton.

El Principia de Newton es muy extenso y bastante impenetrable para un lector laico moderno, pero hay un excelente y mucho más corto libro sobre una conferencia de Richard Feynman donde reinterpreta parte del argumento de Newton. Feynman mismo fue un excelente e ingenioso profesor, y los autores expanden y explican el argumento de Feynman paso a paso con aún más detalle. También exploran el contexto histórico, tanto de la época de Newton, como un poco sobre Feynman. No puedo decir si todo estaría al alcance de un estudiante inteligente de secundaria, pero creo que mucho de ello sí, el contexto sobre Newton y Feynman cuenta una historia inspiradora por sí sola, y en la medida en que sea difícil, responde en gran medida a la pregunta de por qué no lo enseñamos antes del cálculo. Comprarían una docena de copias y se las prestarían a los estudiantes más curiosos.

Answer 4

Hay diferentes niveles en los que puedes explicar este tema.

En el primer nivel explicas que entre dos cargas puntuales hay una ley del cuadrado inverso. Esto es lo suficientemente difícil de entender en la escuela secundaria, pero esta ley relativamente simple ya puede decir mucho sobre el universo. La ley del cuadrado inverso no solo ocurre con cargas estáticas, sino también con la gravedad y la intensidad de la luz solar en función de la distancia al sol. Históricamente, esta fue una de las primeras leyes descubiertas en relación con la electricidad, si no la primera.

En el segundo nivel puedes imaginar que la ley del cuadrado inverso también funciona para cargas en movimiento. Entonces obtienes las siguientes leyes \begin{align} m_1\frac {d^2\mathbf r_1}{dt^2}&=k\frac{q_1q_2}{|\mathbf r_2-\mathbf r_1|^2} \mathbf{\hat r}_{12}\\ m_2\frac {d^2\mathbf r_2}{dt^2}&=k\frac{q_1q_2}{|\mathbf r_2-\mathbf r_1|^2}\mathbf{\hat r}_{21} \end{align} Aquí negrita significa que las variables son vectores. Además, $\mathbf{\hat r}_{12}$ significa el vector con longitud 1 que apunta desde la carga 2 hacia la carga 1. Estas leyes ya son muy complicadas, pero si tienes dos cargas opuestas (una positiva, una negativa) esto es idéntico a la gravedad. Para dos cuerpos, el resultado es conocido y los caminos de las dos cargas son elipses

La realidad es aún más complicada. Las dos leyes que mencioné anteriormente no son válidas para cargas en movimiento, son solo aproximaciones. En realidad, las dos cargas producen tanto un campo eléctrico como un campo magnético y cuando orbitan pierden energía en forma de radiación electromagnética. Esto significa que eventualmente se espiralarían hacia el otro. En el tercer nivel, la fuerza sobre una carga en movimiento está dada por la ley de Lorentz $$\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times \mathbf B)$$ donde $\mathbf E$ es el campo eléctrico, $\mathbf B$ es el campo magnético y $\mathbf v$ es la velocidad de la carga. Deberías resolver para el campo eléctrico y magnético resolviendo las ecuaciones de Maxwell.

Esto aún no es el cuadro completo, así que el mensaje principal es que las cosas se complican muy rápidamente y cada nivel es solo una aproximación/caso especial de un nivel más profundo.

Imagen: https://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem

Answer 5

Podrías contarles a los estudiantes sobre la ecuación de energía potencial $P.E.=\frac{kq_1q_2}{r}$

Viene de integrar la ecuación de fuerza, pero no necesitan saber los detalles...

Podrías darles un ejemplo donde calculen la ganancia en energía cinética y por lo tanto la velocidad de una partícula cargada que es repelida, desde el reposo desde una carga fija y se mueve de un punto a otro. La ganancia en energía cinética sería de la diferencia de la energía potencial de la partícula en los dos puntos.

Los estudiantes de secundaria a menudo están acostumbrados a este tipo de cosas con la gravedad - cuando calculan la ganancia en energía cinética de un objeto que cae, debido a la pérdida de energía potencial gravitatoria.

ver también https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_potential_energy#Definition