Comportamiento de la función Zeta bajo Morfismo Finito

Question

Sea X ---> Y un morfismo finito y sobreyectivo de variedades suaves, proyectivas y conexas sobre un campo finito F_q. ¿Se puede describir la función zeta Z(X, t) en términos de la función zeta Z(Y, t) de Y? ¿Se puede decir algo sobre cómo están relacionadas? ¿Qué sucede si asumimos que el morfismo es finito y étale?

Answer 1

Deberías estar mirando no solo las funciones zeta, sino también las L-funciones.

Entonces sí, para un morfismo finito etal de Galois, la identidad debería ser

        Z(Y) = Z(X) * L(X, \pi_1) * L(X, \pi_2) * ...

(donde el producto es sobre sumandos de la representación regular del grupo de Galois del morfismo, Z siendo la L-función de la representación trivial.) Esto de ninguna manera está restringido a campos finitos —de hecho, la idea así como la notación proviene de un teorema sobre las L-funciones de Dirichlet.

La prueba es que por definición de lo que es una L-función, puede escribirse tanto para un fibrado mixto trivial en Y (LHS) como para su pushforward en X (RHS).

Answer 2

No creo que puedas decir mucho de algo de consecuencia a menos que tengas mejor control sobre las cosas. Como ejemplo, considera el mapa de potencia k A^1 -> A^1. Esto es finito, y sobreyectivo e incluso etale si excluyes 0, y tiene grado k, pero las funciones zeta son las mismas.

Otra forma de reformular el comentario de Ilya es que no solo son variedades las que tienen funciones zeta; todos los haces mixtos las tienen. La función zeta de X es la función zeta de la imagen directa del haz constante en X a Y. Ahora puede ser que puedas decir algo útil sobre este haz (por ejemplo, si tienes una cubierta, es un sistema local, y puedes pensar en las L-funciones de las representaciones de pi_1) pero en general, ese haz podría ser bastante horrible.

Answer 3

Sea $E\to C$ una superficie elíptica (digamos definida sobre $\mathbb{Q}$). Entonces Mike Rosen y yo demostramos una fórmula para el rango del grupo de secciones $C\to E$ definido sobre $\mathbb{Q}$ en términos del número promedio de puntos módulo $p$ en las fibras. (El resultado está condicionado a la conjetura de Tate para la superficie $E$). De todos modos, la prueba se realiza mediante una comparación de la función zeta de $E$ como una superficie en comparación con las funciones zeta de las fibras y la función zeta de la curva base $C$. Por lo tanto, no es una relación directa como la que parece estar buscando, pero tiene el sabor de su pregunta. El artículo es

M. Rosen, J.H. Silverman, On the rank of an elliptic surface, Invent. Math. 133 (1998), 43-67.

Desde entonces ha habido algunas extensiones a familias de variedades abelianas de 1 dimensión y/o a bases de dimensiones superiores, las cuales puedes encontrar haciendo referencia a nuestro artículo en MathSciNet.

Answer 4

El artículo de Aubry y Perret Divisibility of zeta functions of curves in a covering, Archiv der Math. 82(3) (2004), 205-213 contribuye a esta cuestión. Una versión gratuita está disponible en link text.