Demuestra esta desigualdad con la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Question

Sea $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}>0$, muestra que

$$\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\cos{k}\right)^2+\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\sin{k}\right)^2\le \left(2+\dfrac{n}{4}\right)\sum_{k=1}^{n}x^2_{k}$$

Puedo demostrarlo cuando $2+\dfrac{n}{4}$ ocupa el lugar de $n$,

Parece que deberíamos utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $$\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\cos{k}\right)^2\le\sum_{k=1}^{n}x^2_{k}\sum_{k=1}^{n}\cos^2{k}\tag{1}$$

$$\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\sin{k}\right)^2\le\sum_{k=1}^{n}x^2_{k}\sum_{k=1}^{n}\sin^2{k}\tag{2}$$ Sumando $(1),(2)$ obtenemos: $$\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\cos{k}\right)^2+\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\sin{k}\right)^2\le\sum_{k=1}^{n}x^2_{k}\sum_{k=1}^{n}(\cos^2{k}+\sin^2{k})=n\sum_{k=1}^{n}x^2_{k}$$

Answer 1

Bajo qué circunstancias se verifica que los valores propios de

$$Q_n = a_n\sum_{k=1}^n x_k^2 -\left(\sum_{k=1}^n x_k\sin k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^n x_k\cos k\right)^2$$

son todos no negativos?

$$Q_n = X^{\dagger}M_n X$$

donde

$$M_n = \left( \begin{array}{ccccc} a_n-1 & -\cos (1) & \cdots & -\cos (n-2) & -\cos (n-1) \\ -\cos (1) & a_n-1 & \cdots & -\cos (n-3) & -\cos (n-2) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -\cos (n-2) & -\cos (n-3) & \cdots & a_n-1 & -\cos (1) \\ -\cos (n-1) & -\cos (n-2) & \cdots & -\cos (1) & a_n-1 \\ \end{array} \right)$$

Los valores propios de $M_n$ son

$$\{a_1-1\}\\ \{a_2-1-\cos (1),a_2-1+\cos (1)\}\\ \{a_3,a_3-2-\cos (2),a_3-1+\cos (2)\}\\ \{a_4,a_4,a_4-2-\cos (3)-\cos (1),a_4-2+\cos (3)+\cos (1)\}\\ \{a_5,a_5,a_5,a_5-3-\cos (4)-\cos(2),a_5-2+\cos (4)+\cos (2)\}\\ \{a_6,a_6,a_6,a_6,a_6-3-\cos (5)-\cos (3)-\cos (1),a_6-3+\cos (5)+\cos (3)+\cos (1)\}\\ \{a_7,a_7,a_7,a_7,a_7,a_7-4-\cos (6)-\cos (4)-\cos(2),a_7-3+\cos (6)+\cos (4)+\cos (2)\}\\ \{a_8,a_8,a_8,a_8,a_8,a_8,a_8-4-\cos (7)-\cos (5)-\cos (3)-\cos (1),a_8-4+\cos (7)+\cos(5)+\cos (3)+\cos(1)\}\\ \{a_9,a_9,a_9,a_9,a_9,a_9,a_9,a_9-5-\cos (8)-\cos (6)-\cos (4)-\cos (2),a_9-4+\cos (8)+\cos(6)+\cos (4)+\cos (2)\}\\ \vdots$$

y las condiciones sobre $a_n$ para que todos los valores propios sean positivos

$$a_1 > 1\\ a_2 > 1+\cos(1)\\ a_3 > 1+\cos(2)\\ a_4 > 2-\cos (1)-\cos (3)\\ a_5 > 2-\cos (2)-\cos (4)\\ a_6 > 3-\cos (1)-\cos (3)-\cos (5)\\ a_7 > 4+\cos (2)+\cos (4)+\cos (6)\\ a_8 > 4+\cos (1)+\cos (3)+\cos (5)+\cos (7)\\ a_9 > 5+\cos (2)+\cos (4)+\cos (6)+\cos (8)\\ \vdots$$

Sigue un gráfico que muestra en azul $\{a_k\}$ y en rojo $\{2+\frac k4\}$

Como podemos observar, para $k \le 6$ el factor $\color{red}{(2+\frac k4)}$ está bien ubicado pero para $k \ge 7$ queda una gran duda. En verde un factor que coincide con la positividad de los valores propios. $\color{green}{(\frac 23+\frac k2)}$