¿La siguiente serie converge a 2/3?

Question

Se me dio la siguiente pregunta:

Calcular $$1-\frac12+\frac14-\frac18+\frac1{16}- \frac1{32}+\frac1{64}-\cdots -\frac1{512}+\cdots;$$ y expresar la respuesta como una fracción simple.

Mi enfoque fue utilizar la siguiente fórmula: $\frac1{1-r}$ donde $r$ es la razón común. Al final obtuve $2/3$. ¿Estoy en lo correcto?

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Además, ¿cómo podría explicar esto con palabras?

Answer 1

Sí, y tu razón es correcta. Si quieres una manera simple de verificar tu trabajo en tales cosas, podrías usar un sistema de álgebra computacional como Mathematica, o simplemente Wolfram Alpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%2F2%29%5En

Answer 2

No pude resistir que la 'solución' que me vino instantáneamente a la mente fue observar que si x es la serie suministrada, entonces 2x = 2 - x, de lo cual x = 2/3 sigue fácilmente. Además, x = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 ... implica 2x + x = 1 implica x = 1/3. ¡¡¡BZZZT!!!

Answer 3

También podrías haberlo dividido en dos sumas. $$(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...)-(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+...)$$ $$(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...)-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...)$$ $$\frac{1}{2}(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...)

EDICIÓN:

Después de leer el comentario de Moron, decidí publicar la forma alternativa de llegar a mi ecuación final. $$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{8})+...$$ $$\frac{1}{2}(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...)