¿Es posible convertir esta demostración geométrica del área de un círculo en una prueba rigurosa?

Question

En este artículo del New York Times, Steven Strogatz ofrece el siguiente argumento sobre por qué el área de un círculo es $\pi r^2$. Supongamos que divide el círculo en un número par de porciones de pizza con la misma longitud de arco, y las encaja de manera que la mitad de las porciones tienen un arco en la parte inferior y la otra mitad tiene un arco en la parte superior:

Entonces, la base de la forma creada tiene una longitud de $\pi r$, y su altura es $r$. A medida que el número de porciones tiende a infinito, el caso límite es el de un rectángulo:

Por lo tanto, el área del círculo es $\pi r^2$. Aunque este argumento es muy geométricamente atractivo, también parece bastante difícil de formalizar. Supongo que la parte más desafiante es demostrar que la base de la forma realmente se vuelve arbitrariamente plana, y su altura se vuelve arbitrariamente vertical, si eso tiene sentido. ¿Cómo podríamos convertir este argumento intuitivo en una demostración rigurosa?

Answer 1

Para simplificar, asumiré que el número de segmentos $n$ es par.

Si conectas las cuatro "esquinas" de la figura de cuña, obtienes un paralelogramo "interno" con un par de lados de longitud exactamente $r$, y otro par de lados de longitud aproximadamente $\pi r$. La altura del paralelogramo es $r \cos \frac{\pi}{n}$ (que tiende a $r$); la longitud es $n r \sin \frac{\pi}{n}$ (que tiende a $\pi r$). Por lo tanto, el área del paralelogramo "interno" tiende a $\pi r^2$.

También puedes considerar inscribir la figura de cuña dentro de un paralelogramo ligeramente más grande. La altura es nuevamente $r \cos \frac{\pi}{n}$ pero con dos "costras" adicionales cada una con grosor $r(1 - \cos \frac{\pi}{n})$, por lo que la altura final es $r(2-\cos \frac{\pi}{n})$ (que también tiende a $r$). Creo que la longitud es la misma que la del paralelogramo interno: $nr \sin \frac{\pi}{n}$ (que tiende a $\pi r$).

Por lo tanto, el área de la figura de cuña se encuentra entre las áreas de los dos paralelogramos $\pi r^2 cos \frac{\pi}{n} \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}$ y $\pi r^2 (2-\cos \frac{\pi}{n}) \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}$. Dado que ambas áreas convergen a $\pi r^2$, también lo hace el área del círculo.

---

Imagen de los paralelogramos internos y externos:

Answer 2

El círculo y el rectángulo deben tener la misma área si es el caso de que no importa cuán pequeño sea un número positivo $\varepsilon,$ la diferencia entre sus áreas es menor que $\varepsilon.$ A medida que haces $\varepsilon$ más pequeño, las áreas del círculo y del rectángulo no están cambiando, pero siempre siguen difiriendo en área por menos de $\varepsilon.$

Entonces la idea es la siguiente: Primero observa que la suma de las áreas de las cuñas es igual al área del círculo. Entonces, dado el pequeño número positivo $\varepsilon,$ puedes hacer que el número de cuñas sea tan grande que la diferencia entre el área del rectángulo y la suma de las áreas de las cuñas sea menor que $\varepsilon.$ Eso establece la desigualdad discutida en mi primer párrafo anterior.

Answer 3

Ya sea que esto sea riguroso dependerá de sus definiciones de área y longitud, y ya sea que esto sea una prueba dependerá de lo que seamos capaces de presuponer, pero intentaré mostrar cómo controlar el error.

Solo necesitamos demostrar que para $x$ pequeño, uno de esos segmentos con longitud de arco $rx$ (haciendo de $x$ el ángulo) estará lo suficientemente cerca en área de un rectángulo con área $\frac{rx\cdot r}2$. Ahora, a partir de su diagrama habitual utilizado para introducir funciones trigonométricas, vemos que el área está entre $\frac{r\cos x\cdot r\sin x}2$ y $\frac{r\cdot r\tan x}2$. Dado que la circunferencia del círculo es $2\pi r$, necesitaremos $\frac{2\pi}x$ de esos segmentos. (Puede elegir $x$ para hacerlo un número entero si lo prefiere, es decir, establecer $x=\frac{2\pi}n$ y dejar que $n\to\infty$.) Esto enmarca el área del círculo entre $$\lim_{x\to0} \frac{2\pi}x \cdot \frac{r\cos x\cdot r\sin x}2 = \lim_{x\to0} \pi r^2\cdot \cos x\cdot\frac{\sin x}x = \pi r^2$$ y $$\lim_{x\to0} \frac{2\pi}x \cdot \frac{r\cdot r\tan x}2 = \lim_{x\to0} \pi r^2\cdot \frac1{\cos x}\cdot\frac{\sin x}x = \pi r^2.$$ Por lo tanto, el área debe ser $\pi r^2$. Por supuesto, esto asume que ya sabemos que $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$.