Integral de una función que depende de una matriz definida positiva.

Question

Considere una matriz definida positiva $M$, y considere la integral $$\int_{-\infty}^{\infty}dx(x^2I+M^2)^{-1}$$ Si $v_n$ es un autovector de $M$ con autovalor $\lambda_n$, entonces la integral cuando se aplica a $v_n$ es $$\int_{-\infty}^{\infty}dx(x^2I+M^2)^{-1}v_n=\int_{-\infty}^{\infty}dx(x^2+\lambda_n^2)^{-1}v_n=\pi\lambda_n^{-1}v_n$$ Y dado que esto es cierto para todos los $v_n$, me gustaría afirmar que esta integral es igual a $\pi M^{-1}$. ¿Es esto cierto? ¿Se puede hacer esto con otras integrales?

Answer 1

Como $M$ es semidefinida positiva, podemos descomponer $M$ como $$M=PDP^{-1}$$ con $D$ una matriz diagonal con elementos positivos $\{\lambda_i\}_{i=1,...,n}$.

Luego $$\begin{align} (x^2I+M^2)^{-1} &=(x^2I+PD^2P^{-1})^{-1}\\ &=(x^2P^2P^{-2}+PD^2P^{-1})^{-1}\\ &=\left(P(x^2I+D^2)P^{-1}\right)^{-1}\\ &=P(x^2I+D^2)^{-1}P^{-1} \tag{1}\\ \end{align}$$

$(x^2I+D^2)^{-1}$ es una matriz diagonal con elementos $\frac{1}{x^2+\lambda_i^2}$ para $i=1,...,n$ y

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x^2+\lambda_i^2}dx =\frac{\pi}{\lambda_i}$$

Luego, $\int_{-\infty}^{+\infty}(x^2I+D^2)^{-1}dx$ es una matriz diagonal con elementos iguales a $$\frac{\pi}{\lambda_i} \qquad \text{for } i=1,...,n$$ o $$\int_{-\infty}^{+\infty}(x^2I+D^2)^{-1}dx = \pi D^{-1}$$

Finalmente, a partir de $(1)$ tenemos $$\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}(x^2I+M^2)^{-1}dx &=P\left(\int_{-\infty}^{+\infty}(x^2I+D^2)^{-1}dx \right)P^{-1}\\ &=P\left(\pi D^{-1}\right)P^{-1}\\ &=\pi M^{-1}\\ \end{align}$$

Observación: la integral solo funciona con matrices semidefinidas positivas. Si la matriz $M$ tiene un autovalor no positivo, la integral diverge.

Answer 2

Otra forma de expresar la prueba proporcionada por NN2 es recordando que los autovectores normalizados $\{v_k\}_{k=1}^n$ de una matriz de $n$ dimensiones $M$ generan la resolución de la identidad $I=\sum_{k=1}^n v_k v_k^\top$. Entonces la idea del OP produce

$$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}dx(x^2I+M^2)^{-1} &= \int_{-\infty}^{\infty}dx(x^2I+M^2)^{-1}I\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}dx(x^2I+M^2)^{-1} \sum_{k=1}^nv_k v_k^\top\\ &= \sum_{k=1}^n\int_{-\infty}^{\infty}dx(x^2+\lambda_k^2)^{-1} v_k v_k^\top\\ &= \sum_{k=1}^n \pi \lambda_k^{-1} v_k v_k^\top\\ &= \sum_{k=1}^n \pi M^{-1} v_k v_k^\top\\ &=\pi M^{-1}. \end{align}$$