Demostrar que $F_{2n}(x)=0$ tiene exactamente una raíz en el intervalo $x\in(0,1),$ y esta raíz $\to 0$ cuando $n \to \infty.$

Question

Defina $$f_1(x)=x\\f_2(x)=x^x\\\vdots\\f_{n+1}(x)=x^{f_n(x)}$$

Sea $F_n(x)=f_n^{'}(x).$ Por lo tanto $$F_1(x)=1\\F_2(x)=x^x(1+\log(x))\\\vdots$$

Demostrar que $F_{2n}(x)=0$ tiene exactamente una raíz en el intervalo $x\in(0,1),$ y esta raíz $\to 0$ cuando $n \to \infty.$

Aquí están las imágenes de $f_{2n}(x)$ para $n=1,2,\ldots,10.$

Answer 1

Le sugiero que estudie formalmente $f_n(x)$ :

• observe los valores en 0 y 1, y las variaciones intermedias
• estudiar $f_n$ recursivamente
• En este punto demostrar que sólo hay 1 raíz $r_n$
• demostrar que $r_n$ disminuye
• muestran que el límite no puede ser > 0.