Inducción (referente a $1+z+\dots+z^n$) y pregunta de seguimiento

Question

Estoy haciendo una revisión de cosas de antes en el semestre y no puedo probar esto por inducción:

Usa inducción en $n$ para verificar que $1+x+\cdots+z^n= \frac{1-z^{n+1}}{1-z}$ (para $z\not=1)$. Usa esto para mostrar que si $c$ es una raíz $n$-ésima de $1$ y $c\not=1$, entonces $1+c+\cdots+c^n=0$.

También hay una pregunta de seguimiento basada en esa:

Muestra que si $c$ es cualquier raíz $n$-ésima de $1$ y $c\not=1$, entonces $$1+c+c^2+\cdots+c^{n-1}=0$$

Nota: Si la memoria no me falla, hay un error de imprenta en una de estas preguntas. No puedo recordar cuál.

Answer 1

Inducción: $n=1$ es verdadero $1+z={(1-z)(1+z) \over (1-z)}={1-z^2 \over 1-z}$, paso de inducción $n\Rightarrow n+1$ $$ 1+z+\dots+z^n+z^{n+1}={1-z^{n+1}\over 1-z} + z^{n+1} ={1-z^{n+1}\over 1-z} + {(1-z)z^{n+1}\over(1-z)} = {1-z^{n+1}+z^{n+1}-z^{n+2}\over 1-z} $$

Answer 2

Para la inducción, es cierto para $n=0:\ 1=\frac{1-z}{1-z}$. Ahora asumamos $\sum_{i=0}^k z^i=\frac{1-z^{k+1}}{1-z}$. Entonces $\sum_{i=0}^{k+1} z^i=\frac{1-z^{k+1}}{1-z}+z^{k+1}=\frac{1-z^{k+1}+z^{k+1}-z^{k+2}}{1-z}=\frac{1-z^{k+2}}{1-z}$