Suma de bases de un espacio vectorial para una permutación arbitraria.

Question

Tengo dos listas de $n$ vectores distintos $L_1$ y $L_2$. Ambas listas son bases para un espacio vectorial $\mathbf{V}$ sobre un campo $\mathbb{F}$ con dimensión $d>1$. Sea $L_1=(a_1,\ldots,a_n)$ y $L_2=(b_1,\ldots,b_n)$, donde $\{a_i;b_j\}\in \mathbf{V}$ son vectores de la base. Sea $$L_1+\sigma(L_2)=(a_1+b_{\sigma(1)},\ldots,a_n+b_{\sigma(n)})$$ Necesito demostrar o refutar si cada $L_1+\sigma(L_2)$ es también una base para $\mathbf{V}$ para algún $\sigma\in\mathbf{S}_n$. Hice una pregunta similar para el caso en que $\sigma$ es la identidad, así que dejaré el enlace aquí. Esta sería una especie de generalización de la pregunta anterior, que mostró que, al menos para la identidad en $\mathbf{S}_n$, la suma de bases podría no ser una base.

enlace a la pregunta original: Sum of bases for a vector space

Answer 1

De hecho, a partir de mis comentarios, creo que me he convencido de que esto no es cierto y no se puede salvar obviamente.

Toma $L_1 = (a_1, \ldots, a_n)$ como cualquier base, y forma $L_2$ con $b_i = -a_i$. entonces, para cualquier $\sigma \in S_n$. Entonces $L_1 + \sigma(L_2)$ no es una base.

¿Por qué? Si $\sigma$ no es una permutación, entonces $L_1 + \sigma(L_2)$ contiene un vector $0$, lo que impide que sea una base. De lo contrario, mapea esta base bajo el mapa de vector coordenado con respecto a $L_1$. Luego, cada vector coordenado contiene exactamente un $1$, exactamente un $-1$, y $0$ en otros lugares. Si $L_1 + \sigma(L_2)$ fuera una base, esperaríamos que estos vectores coordenados abarcaran $\Bbb{F}^n$. Pero, este no es el caso, ya que todos estos vectores coordenados tienen sus entradas sumando $0$. De cualquier manera, $L_2 + \sigma(L_1)$ no es una base.

EDITAR: O, un poco más generalmente, también se podría simplemente tomar cualquier bases $L_1$ y $L_2$ de manera que la suma de todos los vectores de ambas bases sea $0$. Entonces, la suma de $L_1 + \sigma(L_2)$ será $0$, lo cual contradiría la independencia lineal.