Teorema de parada óptima para martingalas en UI

Question

En mis apuntes, se me dio que:

"Sea $X_n$ un $F_n$ (superior, inferior) martingala y $\tau$ un tiempo de parada $F_n$. Entonces $X_{n \wedge \tau}$ es una (superior, inferior) martingala con respecto a $F_n$ y $F_{n \wedge \tau}$"

Sin embargo, en la sección sobre Martingalas Uniformemente Integrables dice:

"Sea $X_n$ una martingala UI. Entonces para cualquier tiempo de parada $F_n$ $\tau$, $X_{n \wedge \tau}$ es Uniformemente integrable."

¿No es cierto que si $X_n$ es una martingala UI entonces $X_{n \wedge \tau}$ es una martingala Uniformemente integrable?

Answer 1

Si $\{X_n\}$ es uniformemente integrable, entonces $X_n=E(X|\mathcal F_n)$ para alguna $X$ integrable y $X_{n\wedge \tau}=E(X|\mathcal F_{n\wedge \tau})$ lo que hace que $\{X_{n\wedge \tau\}}$ también sea uniformemente integrable.