¿Es un álgebra de división central de dimensión finita = $\otimes$(subálgebra de división central apropiada)?

Question

Un ejercicio en el Álgebra Básica II de Jacobson es aproximadamente el siguiente.

Si $\Delta_1,\Delta_2$ son álgebras divisorias centrales de dimensión finita sobre $F$, y si $\operatorname{gcd}([\Delta_1:F],[\Delta_2:F])=1$, entonces $\Delta_1\otimes_F\Delta_2$ es un álgebra divisoria central.

Puedo hacer esto, y ahora estoy curioso sobre el problema inverso. Es decir,

dada un álgebra divisoria central de dimensión finita $\Delta$, ¿siempre existen álgebras divisorias centrales $\Delta_1,\Delta_2$ con dimensiones coprimas tales que $\Delta\cong \Delta_1\otimes_F\Delta_2$?

Por supuesto, para excluir respuestas triviales, requerimos que $\Delta_1, \Delta_2\neq F$ y que $[\Delta:F]$ no sea una potencia de primo.

Supongo que un posible camino es encontrar una subálgebra central $\Delta_1$ de $\Delta$ cuya dimensión $[\Delta_1:F]$ sea coprima a $[\Delta:\Delta_1]$. Una vez hecho esto, un teorema en el libro dice que $\Delta=\Delta_1\otimes_F C_{\Delta}(\Delta_1)$. Aquí $C_\Delta(\Delta_1)$ es el centralizador de $\Delta_1$ en $\Delta$, que será divisorio y cuyo centro (por ese teorema) será el centro de $\Delta$, es decir, $F$. Además, $[C_\Delta(\Delta_1):F]=[\Delta:F]/[\Delta_1:F]=[\Delta:\Delta_1]$, que es coprimo a $[\Delta_1:F]$ por construcción. Esto proporciona lo que quiero.

Answer 1

Sí, existe un resultado de tipo "descomposición primaria" para álgebras de división central, consulta Gille, Szamuely, Álgebras Simples Centrales y Cohomología de Galois, Proposición 4.5.16 (atribuida a Brauer):

Sea $k$ un cuerpo, sea $D$ una álgebra de división central sobre $k$ de índice $\mathrm{ind}(D) = p_{1}^{m_{1}} \dotsb p_{r}^{m_{r}}$. Entonces existen álgebras de división central $D_{1},\dotsc,D_{r}$ tales que $\mathrm{ind}(D_{i}) = p_{i}^{m_{i}}$ y $D \simeq D_{1} \otimes_{k} \dotsb \otimes_{k} D_{r}$.