Relación de recurrencia en la progenie total de un proceso de ramificación.

Question

Deje que $Y_{n}= Z_0+Z_1+\cdots+Z_n$ modele un proceso de ramificación como el número total de individuos hasta la generación $n$. El número total de descendencia se puede describir como $Y = \lim_{n \to \infty} Y_n.

Para analizar el tamaño esperado de la generación, podemos seguir

$$\lim_{n \to \infty} E(Z_n) = \lim_{n \to \infty}\mu^n= \begin{cases} 0, & \mu<1,\\ 1, & \mu=1,\\ \infty, & \mu>1. \end{cases}$$

Se puede mostrar que para el caso crítico donde $\mu =1$,

$$E(Y) = \sum_{i=0}^n E(Z_i)=\infty.$$

Ahora permita que $\psi_n(s)= E(s^{Y_n})$ sea la función generadora de probabilidad de $Y_n$.

¿Cómo se podría mostrar que $\psi_n$ satisface la relación de recurrencia

$\psi_n(s)=sG(\psi_{n-1}(s))$ para $n=1,2,\ldots,$ donde $G(s)$ es la función generadora de probabilidad de la distribución de descendencia?

Answer 1

Sea $Z_0 = 1$, entonces $Y_n$ condicionado a ${Z_1 = k}$ es la suma de la progenie total de cada niño $(1,...,k)$: $Y_n = 1 + \sum_{i=1}^k T_{i}.

$T_{1}, T_{2},..., T_{k}$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con la misma distribución de $Y_{n-1}$.

$\psi_n(s)= \sum_{k=o}^\infty p_kE[s^{y_n} | Z_1 = k] = \sum_{k=o}^\infty p_kE[s^{1 + \sum_{i=1}^k T_{i}}] = s\sum_{k=o}^\infty p_kE[\prod_{i=1}^k s^{T_{i}}]

\= s\sum_{k=o}^\infty p_k[\psi_{n-1}(s)]^k =sG(\psi_{n-1}(s))

La primera igualdad proviene de $E[X] = E[E[X|W]]$, la cuarta de i.i.d.