La razón por la que me había hecho esta pregunta es porque un Floer la teoría de la prueba era necesaria para la física de papel estaba escrito y no quería ser una prueba que no entendía. Con el tiempo me dio la esperanza de que alguien se lo explique a mí y comenzó a leer las matemáticas de la literatura.
Aquellos que buscan una traducción de las matemáticas en la jerga de la física de la jerga (de la clase que cada estudiante de posgrado de física que se enseña), podemos observar el papel que estoy pensando en enviar a Jour. De matemáticas. Phys., o tal vez Phys. Rev X. la Sección III, "de las Ecuaciones de Hamilton" es una traducción de un corto Floer la teoría de la prueba de que Sam Lisi dio en respuesta a la pregunta "Dada una base de dos conjuntos de un número finito de espacio de Hilbert, hace un imparcial vector de existir?" La integridad, aquí está la versión actual:
Un Hermitian matriz genera un parámetro 1-subgrupo de matrices unitarias y cualquier unitario de la matriz es un elemento de un parámetro 1-subgrupo. Ya que estamos traduciendo el problema en la mecánica clásica utilizaremos $t$ para el parámetro. Por lo tanto:
$$U(t) = \exp(it\;H).$$
y la central unitaria de la matriz de interés está dado por $U(1)$. Dado un estado inicial $\vec{v}(0)$, el estado en tiempo de $t$ está definido por un conjunto de acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias:
$$\vec{v}(t) = U(t)\vec{v}(0) = \exp(it\;H)\vec{v}(0)$$
El parámetro 1-subgrupo (y por lo tanto la matriz unitaria) están completamente definidas por la relación entre el$\vec{v}$$\dot{\vec{v}}$. En los componentes de:
$$\dot{v}_j = i\Sigma_k H_{jk}\;v_k.$$
Reemplazar las variables complejas con partes real e imaginaria:
$$v_k = p_k + iq_k$$
$$H_{jk} = r_{jk}+is_{jk}$$
Si estos son compatibles con un Hamiltoniano $\mathbf{H}$, tenemos las ecuaciones de Hamilton:
$$\dot{q}_j = +\partial \mathbf{H}/\partial p_j = \Sigma_k(+r_{jk}p_k-s_{jk}q_k),$$
$$\dot{p}_j = -\partial \mathbf{H}/\partial q_j = \Sigma_k(-r_{jk}q_k-s_{jk}p_k).$$
Compatibilidad requiere que $s_{jk}=-s_{kj}$, lo cual es cierto ya que $H$ es Hermitian. La integración da el Hamiltoniano como:
$$\mathbf{H} = \Sigma_{j\neq k}(r_{jk}(p_jp_k+q_jq_k)+s_{jk}p_kq_j)+\Sigma_{j}r_{jj}(p_j^2+q_j^2)/2.$$
Este Hamiltoniano, integrado por un período de tiempo $t$, da unitario de la transformación de $U(t)=\exp(iHt)$. Tenga en cuenta que $\mathbf{H}$ es cuadrática en el momento y posición y así es una generalización de un oscilador armónico.
Los matemáticos estudian estos Hamiltonianos bajo la etiqueta de "geometría simpléctica." Aquí damos un breve y áspera introducción al lenguaje matemático. Deje $\{\hat{e}_j\}$ ser una base para las posiciones como un espacio vectorial. Es decir, dada una posición $\vec{q}=(q_1,q_2,...q_n)$, tratamos la suma de $\Sigma_j\hat{e}_jq_j$ como un elemento de un espacio vectorial. Igualmente, os $\{\hat{f}_k\}$ ser una base para el momenta también con $n$ elementos. La combinación de la base de dos conjuntos de da una base para un $2n$-dimensional espacio vectorial $M$. Ahora definir un bilineal mapa de $\Omega$ $M$ que actúa sobre la base de los conjuntos de la siguiente manera:
$$\Omega(\hat{e}_j,\hat{e}_k)=\Omega(\hat{f}_j,\hat{f}_k)=0,$$
$$\Omega(\hat{e}_j,\hat{f}_k)=-\Omega(\hat{f}_k,\hat{e}_j)=\delta{jk}.$$
Sin $\Omega$, $M$ es habitual el "espacio de fases" de los físicos, pero los matemáticos prefieren llamar a la combinación de un "simpléctica espacio vectorial."
El mapa de $\Omega$ puede ser pensado como una forma de asociar las posiciones con ímpetus. Esto es, dados dos elementos $u,v$$M$$\Omega(u,v)=1$, podemos pensar de $u$ como una posición y $v$ como asociado de impulso. Por ejemplo, si $\Omega(q_1,p_1)=1,$$\Omega(p_1,q_1)=-1$$\Omega(p_1,-q_1)=1$. Por lo tanto podemos pensar de $p_1$ como una posición y $-q_1$ como asociado de impulso. Este uso sigue el sentido de la costumbre canónica (o de contacto) transformaciones familiares a la mecánica clásica. Este ejemplo es uno que se da normalmente en los libros de texto sobre el tema, podemos cambiar la posición de sus asociados impulso dado presentamos un signo menos.
La mecánica clásica es sobre el movimiento de los sistemas a través del espacio de fase. Supongamos que un sistema comienza en alguna posición en particular. Una pregunta de interés es "el sistema de retorno a la posición en el momento $t$?" Para responder a esta pregunta, consideramos que una posición fija con todos los ímpetus. Pero Hamilton ecuaciones pueden ser transformados en formas que mezcla la posición y el momentum. Para entender estas preguntas, necesitamos una definición de "posición inicial" que permite a cualquier posible la transformación de las ecuaciones de Hamilton.
Si el espacio de fase no se transforma, entonces los elementos de a $M$ a considerar son aquellos con una posición particular y cualquier impulso. Esto es fácil de definir por la $\hat{e}_j,\hat{f}_k$ base de los elementos; nos vamos impulso en el subespacio generado por la $\hat{f}_k$. Un subespacio tiene dimensión $n$, justo la mitad que el de $M$. De manera más general, considerar el impulso subespacio resultantes de cualquier canónica de transformación, junto con una especificación de posición. Un subconjunto de a $M$ define un valor inicial problema en la mecánica clásica; los matemáticos llaman un subconjunto de un "submanifold de Lagrange".
Consideremos ahora el canónica de la transformación de $q_j,p_j$ $\rho_j,\sigma_j$generado por:
$$F = \left(q_j\sqrt{\rho_j^2-q_j^2}+\rho_j^2\sin^{-1}(q_j/\rho_j)\right)/2.$$
Esto le da a $p_j$ $\sigma_j$ como:
$$p_j = \partial F/\partial q_j = \sqrt{\rho_j^2-q_j^2},$$
$$-\sigma_j = \partial F/\partial \rho_j = \rho_j\sin^{-1}(q_j/\rho_j).$$
La solución para $p_j$ $q_j$ en términos de $\sigma_j$ $\rho_j$ tenemos:
$$p_j=\rho_j\cos(\sigma_j/\rho_j),$$
$$q_j=\rho_j\sin(\sigma_j/\rho_j).$$
Poner a $\rho_j=1$ en las nuevas coordenadas que define a una de Lagrange submanifold de $M$ que $\rho_j^2=p_j^2+q_j^2=1.$ E este subconjunto del espacio de fase corresponde a los vectores de las fases en el espacio de Hilbert. El nuevo impulso consiste en un producto de $n$ copias de fases complejas lo que puede ser llamado un toro, ya que también es de Lagrange, es un "Lagrangiano de toro". El toro como hemos definido tiene una fase de libertad. Es decir, si añadimos la misma fase de $\alpha$ a todas las $\sigma_j$, el resultado será un nuevo vector que es también un vector de fases y que representa el mismo estado cuántico. Esto es sólo la costumbre arbitraria de fase compleja presente en un estado cuántico vector. Para eliminarlo, los matemáticos prefieren identificar equivalente vectores y así trabajar con el equivalente de toro en $CP^{n-1}$.
Cheol-Hyun Cho3 se refiere a nuestra $CP^{n-1}$ toro como un "Clifford toro", una extensión de la definición habitual. Su papel es, quizás, la primera prueba de que el Hamiltoniano de flujo no puede "desplazar" dicho de un toro, es decir, de tal manera que ya no se cruza consigo misma. Otros documentos que prueban la existencia de la intersección son [4,5] y puede ser deducida a partir de [6-8]. Esto completa la prueba de que un imparcial en el estado existe para las dos bases. Además, ordenador de cálculo con random unitaria de las matrices no se pudo encontrar ningún contador de ejemplos y Philip Gibbs9 demostrado la $n=3$ de los casos en el 2009.
3 C.-H. Cho, "Holomorphic discos, spin estructuras, y floer cohomology de Clifford toro," Int. De matemáticas. Res. No. 35, 1803-1843 (2004), matemáticas / 0308224.
4 P. Biran y O. Córnea, "de Lagrange cuántica de homología," El Yashafest, Stanford (2007),
de matemáticas.SG / 0808.3989.
5 P. Biran y O. Córnea, "la Rigidez y uniruling de lagrange submanifolds," Geom. Topol. 13, 28812989 (2009), de matemáticas.SG / 0808.2440.
6 C.-H. Cho y Y. G. Oh, "Floer cohomology de disco y instantons de lagrange toro fibras en fano tóricas de colectores," Asiático J. Math. 10, 773-814 (2006), matemáticas / 0308225.
7 M. Entov y L. Polterovich, "Cuasi-estados y simpléctica intersecciones," Eur. De matemáticas. Soc. 81, 75-99 (2006), matemáticas / 0410338.
8 K. Fukaya, Y. G. Oh, H. Ohta, y K. Ono, "de Lagrange floer teoría sobre compacta tóricas de colectores: encuesta", (2010), de matemáticas.SG / 1011.4044.
9 P. Gibbs, "3x3 unitaria a la magia de la matriz de transformaciones" (2009), vixra 0907.0002.
