Cálculo Diferenciación Implícita y Diferenciación Parcial.

Question

Expresar v$_x$ en términos de u e y si las ecuaciones x =vln(u) y y= uln(v) definen u y v como funciones de las variables independientes x e y, y si v$_x$ existe.

Diferenciar implícitamente una función da:

(1) (ln(u)v$_x$) + (v/u)u$_x$ = 1

(2) (u/v)v$_x$ + (ln(v)u$_x$) = 0;

Ahora tengo que resolver para v$_x$, lo cual no debería ser un problema, pero creo que estoy tropezando con el álgebra.

El libro de texto saca una fórmula de la nada y da como respuesta ln(v) / (ln(u) ln(v) - 1).

¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

$$ x = v\ln u\\ y = u\ln v. $$ Al tomar logaritmos de la primera ecuación obtenemos $$ \ln x = \ln v + \ln \ln u. $$ Ahora podemos sustituir $y$ y obtener $$ \ln x = \frac{y}{u} + \ln \ln u $$ Tomando las derivadas con respecto a $x$ encontramos $$ \frac{1}{x} = -\frac{y}{u^2}u_x +\frac{1}{u\ln u}u_x $$ Tenemos una ecuación para $x$ para después. Tomando la derivada de nuestra segunda ecuación inicial encontramos $$ 0 = u_x \ln v + \frac{u}{v}v_x \implies \frac{u_x }{u}= -\frac{1}{v\ln v}v_x $$ Entonces tenemos $$ \frac{1}{x} = -\frac{u_x}{u}\left[\frac{y}{u}-\frac{1}{\ln u}\right] = \frac{1}{v\ln v}\left[\frac{y}{u}-\frac{1}{\ln u}\right]v_x = \frac{1}{v\ln u} $$ Rearreglándolo encontramos $v_x$ como $$ v_x = \frac{\ln v}{\ln u \left[\frac{y}{u}-\frac{1}{\ln u}\right]} $$ Ahora tienes $$ \frac{y}{u} =\ln v $$ Ahora has terminado. Fui por el camino largo solo para ser más simple (pero puedes tomar atajos).