Coacción inducida en un espacio vectorial.

Question

Sea $H$ una álgebra de Hopf y sea $V$ un $H$-módulo. Entonces tenemos una acción $H \times V \to V$ dada por $(h, v) \mapsto h.v$. Esta acción induce una acción de $H$ en el espacio vectorial dual $V^*$ de $V$ que se da por $(h, \lambda) \mapsto h.\lambda$, donde $(h.\lambda)(v) = \lambda(S(h).v)$, $S$ es el antípoda en $H.

Supongamos que $U$ es un $H$-comódulo. Entonces tenemos una coacción $\delta: U \to H \otimes U$. Sea $U^*$ el espacio vectorial dual de $U$. ¿Tenemos alguna coacción natural $U^* \to H \otimes U^*$ inducida por $\delta$? Muchas gracias.

Answer 1

Cuando $U$ es de dimensión finita la respuesta es afirmativa. Piensa en $U^\ast$ y $H \otimes U^\ast$ como $\hom(U, k)$ y $\hom(U, H)$ respectivamente. Luego, el mapa $U^\ast \to H \otimes U^\ast$ está dado por $\phi \mapsto (\mathrm{id}_H \overline\otimes\phi)\circ\delta$, donde aquí $f \overline\otimes g$ es el mapa $a \otimes b \mapsto f(a)g(b)$.