El Problema
Sea $C$ el cono $$C:= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R^3}: \sqrt{x^2+y^2}\leq z \leq 1$$ Suponga que $C$ tiene una densidad de masa constante y encuentre la coordenada z del centro de masa.
El trabajo que he hecho:
\begin{align*} M_{xy}&=\iint_{R}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1} z \,\delta \,dx \,dy \,dx\\ &=\iint_{R} \delta \,\frac{z^2}{2} \Bigg|_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1} \,dy \,dx\\ &=\iint_{R} \delta \,\Big(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2} \Big) \,dy \,dx \end{align*}
Cambiando ahora a coordenadas polares y sacando las constantes: \begin{align*} &=\frac{\delta}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(r-r^3 \big) \,dr \,d\theta\\ &=\frac{\delta}{2} (\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{4}\,\delta\,.\\ \\ M&=\iint_{R}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1} \,\delta \,dx \,dy \,dx\\ &=\iint_{R} \delta (1-\sqrt{x^2+y^2}) \,dy \,dx \end{align*}
Cambiando de nuevo a coordenadas polares: \begin{align*} &=\delta \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1-r) \,r \,dr \,d\theta\\ &=\delta \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{6} d\theta = \frac{\pi}{3}\,\delta \end{align*} Por lo tanto:
$$\bar{z}=\frac{M_{xy}}{M} = \frac{\pi\delta}{4}\cdot\frac{3}{\pi\delta}=\frac{3}{4}$$
¿Es correcta mi respuesta?
Editar: También sé que podría haber cambiado a coordenadas cilíndricas desde el principio. Si lo hubiera hecho, ¿sería la integral que necesito evaluar $$M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r}^{1} \,r \,dz \,dr\,d\theta$$
y
$$M_{xy}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r}^{1} \,rz \,dz \,dr\,d\theta\,?$$
