Función de masa de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias geométricas independientes

Question

¿Cómo se podría demostrar que la función de masa de probabilidad de X + Y, donde X e Y son variables aleatorias independientes cada una distribuida geométricamente con parámetro p; es decir,

$p_X(n)=p_Y(n)=\left\{\begin{matrix} p(1-p)^{n-1} & n=1,2,...\\ 0 & de lo contrario \end{matrix}\right.$

es igual a $\mathbf{P_{X+Y}(n)= \color{Red}{(n-1)}\ p^2(1-p)^{n-2}}$

Utilizando la convolución, obtengo

$\mathbf{P(X+Y=n)=\sum_{n}^{k=0} Pr(X=k)*Pr(Y=n-k) =\sum_{k=1}^n p_X (1-p_x)^{k-1} p_Y(1-p_Y)^{n-k-1}$

ya que $p=p_X=p_Y$ se reduce a

$\mathbf{P(X+Y=n)=\sum_{k=1}^n p^2(1-p)^{n-2}$

¿Es este un método correcto? Estoy atascado aquí, no sé cómo llegar a la fórmula final. Me falta alguna transición para obtener el (n-1).

Answer 1

Dado que $X, Y \geq 1$, la suma debe realizarse sobre $k = 1,2, \dots, n-1$. Usando esto, la convolución se convierte en

\begin{eqnarray*} P(X+Y = n) &=& \sum_{k=1}^{n-1} p^2(1-p)^{n-2} \\ & = & p^2(1-p)^{n-2}\sum_{k=1}^{n-1} 1 \\ & = & p^2(1-p)^{n-2}(n-1) . \end{eqnarray*}

Answer 2

Una variable aleatoria geométrica es el conteo de la prueba de Bernouli hasta un éxito. Medimos la probabilidad de obtener $n-1$ fallos y luego $1$ éxito. $$\mathsf P(X=n) = (1-p)^{n-1} p\qquad :n\in\{1,2,\ldots\}$$

La suma de dos de estos es el conteo de pruebas de Bernouli hasta el segundo éxito. Medimos la probabilidad de obtener $1$ éxito y $n-2$ fallos, en cualquier orden de esas $n-1$ pruebas, seguido por el segundo éxito. $$\mathsf P(X+Y=n) = (n-1) (1-p)^{n-2} p^2\qquad :n\in\{2,3\ldots\}$$

Esto también puede contarse sumando $$\begin{align}\mathsf P(X+Y=n) & = \sum_{k=1}^{n-1} \mathsf P(X=k, Y=n-k) & \text{note la gama} \\[1ex] & = \sum_{k=1}^{n-1} \mathsf P(X=k)\mathsf P(Y=n-k) & \text{por independencia} \\[1ex] & = \sum_{k=1}^{n-1} (1-p)^{k-1} p \cdot (1-p)^{n-k-1} p \\[1ex] & = (1-p)^{n-2} p^2 \sum_{k=1}^{n-1} 1 \\[1ex] & = (n-1) (1-p)^{n-2}p^2\end{align}$$

Dado que $X+Y$ debe ser igual a $n$ y ninguno puede ser menor que $1$, entonces ninguno puede ser mayor que $n-1$. Por lo tanto, este es el rango de valores de $X$ sobre el cual debemos sumar.