El tiempo que dos masas chocarán debido a la gravedad newtoniana

Question

Mi amigo y yo nos hemos estado rompiendo la cabeza con esto durante las últimas 3 horas... Tenemos 2 masas de puntos, $m$ y $M$ en un mundo perfecto separados por un radio r. Partiendo del reposo, ambos comienzan a acelerar el uno hacia el otro. Entonces tenemos la fuerza gravitacional entre ellos como

$$F_g ~=~ G\frac{Mm}{r^2}$$

¿Cómo podemos saber en qué momento colisionarán? Lo que nos cuesta es que esta función sea una función de $r$ pero he sospechado que en realidad es una función de $t$ debido a las unidades de $G$ ser $N(m/kg)^2$ . He probado a hacer varias integrales, que no han dado nada útil. ¿Algún consejo? No, no se trata de un problema real de deberes, sólo somos 2 personas de matemáticas/física/informática que estamos muy aburridos en el trabajo :)

Answer 1

Deberías ser capaz de utilizar la conservación de la energía para escribir las velocidades de los cuerpos en función del tiempo.

$$\textrm{Energy conservation (KE = PE): } \frac{p^2}{2}\left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right) = GMm\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right)$$

Y

$$\frac{dr}{dt} = -(v + V) = -p\left( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right)$$

La conservación del momento asegura que la magnitud de los momentos de ambas masas es la misma. ¿Ayuda esto?

Sustituyendo en la segunda ecuación a partir de la primera deberías poder resolver: $$\int_0^T dt = -\int_{r_0}^0 dr \sqrt{\frac{rr_0}{2G(M+m)(r_0-r)}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\frac{r_0^{3/2}}{\sqrt{G(M+m)}}$$

Answer 2

Creo que la respuesta es más sencilla:

$$F = m.a$$ pero $$F= G. \frac{Mm}{r^2}$$ entonces: $$ma =G. \frac{Mm}{r^2}$$ entonces:

$$a = \frac{GM}{r^2}$$ por otro lado: $$V_f= V_i +at$$ pero como los objetos parten del reposo: $$V_0 =0 => V_f = a.t$$ entonces: $$t = \frac{V_f}{a}$$ entonces, despejando el tiempo que obtenemos: $$t = \frac{V_f.r^2}{G.M}$$ Ahora, $$V_f^2 = 2.a.r$$ entonces: $$V_f = \sqrt{2r} . \sqrt{\frac{GM}{r}}$$ entonces: $$t = \frac{r^2}{GM} . \sqrt{2r}. \sqrt{\frac{GM}{r}}$$ final: $$t = \sqrt{\frac{2.r^3}{GM}}$$

Answer 3

Ya que esta vieja pregunta ha sido rebatida, podría añadir mi propia respuesta. En la mecánica clásica, dos masas que interactúan gravitatoriamente definen un problema de los dos cuerpos que sigue las leyes de Kepler: orbitarán entre sí en una elipse, y la Tercera Ley de Kepler establece que $$n^2a^3 =\mu,$$ donde $a$ es el semieje mayor, $\mu=G(M+m)$ y $n=2\pi/T$ con $T$ el período orbital, es decir, el tiempo que se tarda en ir del apocentro (el punto de mayor distancia) al pericentro (el punto de menor distancia) y volver.

Ahora bien, el caso de dos masas que colisionan es un caso especial: aquí, la elipse se convierte en una línea, por lo que el semieje menor $b$ es cero, el apocentro es la distancia inicial $r_0$ y el pericentro es cero. También, $r_0=2a$ . Así, las masas sólo completan media órbita (del apocentro al pericentro), lo que lleva un tiempo $$t = T/2 = \frac{\pi a^{3/2}}{\sqrt{\mu}} = \pi\sqrt{\frac{r_0^3}{8G(M+m)}}.$$

Answer 4

Para completar, aquí hay otra solución (aunque no tan elegante como la de Shanth).

Las ecuaciones de movimiento (de la 2ª Ley de Newton) de las dos masas puntuales $m_1$ y $m_2$ , respectivamente, son:

$$G\frac{m_1 m_2}{(r_2-r_1)^2}=m_1 \ddot{r_1}\Leftrightarrow \ddot{r_1}=G\frac{m_2}{(r_2-r_1)^2}$$

$$-G\frac{m_1 m_2}{(r_2-r_1)^2}=m_2 \ddot{r_2}\Leftrightarrow \ddot{r_2}=-G\frac{m_1}{(r_2-r_1)^2}$$

Restando estas dos ecuaciones obtenemos:

$$\ddot{r_2}-\ddot{r_1}=\frac{\mathbb{d}^2}{\mathbb{d}t}(r_2-r_1)=-G\frac{m_1+m_2}{(r_2-r_1)^2}$$

Y el ajuste $r=r_2-r_1$ finalmente obtenemos la siguiente ecuación diferencial no lineal de segundo orden:

$$\ddot{r}r^2+G(m_1+m_2)=0$$

Aquí ( enlace ) puedes encontrar cómo resolver esta EDO.

Answer 5

Tarea similar: Un cuerpo es lanzado hacia arriba con una velocidad de escape $v_e$ desde una altura $R$ . El tiempo que tarda el cuerpo en alcanzar una altura $h$ ?

Como es bien sabido $\large v=\frac{dr}{dt}$ Así que $\large dt= \frac{1}{v}dr$

$\large{ v_e^2= \frac{2GM}{r}}$ Así que $\large \frac{1}{v_e} = \sqrt{\frac{r}{2GM}}$

$\large T=\int\limits_R^h \sqrt{\frac{r}{2GM}}dr=\frac{2}{3}(h^{3/2}-R^{3/2})\frac{1}{\sqrt{2GM}}=\large \frac{2}{3}\Big(\frac{h}{v_{eh}}-\frac{R}{v_{eR}}\Big)$

donde $\large{ v_{eh}= \sqrt{\frac{2GM}{h}}}$ y $\large{ v_{eR}= \sqrt{\frac{2GM}{R}}}$ - velocidades de escape a $h$ y $R$

La velocidad de escape puede derivarse de la conservación de la energía:

$\large -\frac{GMm}{r} + \frac{mv_e^2}{2}=0$