¿Cómo actúan las representaciones proyectivas en el vacío de la QFT?

Question

Sea $U:\mathcal{G}\to \mathcal{U}(\mathcal{H})$ una representación proyectiva unitaria de un grupo de simetría $\mathcal{G}$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$. Satisface la regla de composición:

$$U(g_1)U(g_2)=e^{i\phi(g_1,g_2)}U(g_1g_2).\tag{1}$$

Ahora supongamos que hay un estado $|\Omega\rangle$ que solo cambia por una fase bajo la simetría:

$$\tag{2} U(g)|\Omega\rangle = e^{if(g)}|\Omega\rangle,$$

para algunas fases reales $f(g)$. Entonces actuando sobre $|\Omega\rangle$ con cada lado de (1) encontramos:

$$\phi(g_1,g_2)=-f(g_1g_2)+f(g_1)+f(g_2) \mod 2\pi \tag{3}$$

Entonces $\phi(g_1,g_2)$ es un cociente trivial. Al definir los operadores de simetría "mejorados" $$\tilde{U}(g)=e^{-i f(g)}U(g)\tag{4}$$

obtenemos una verdadera representación no proyectiva de $\mathcal{G}$.

Para resumir, si una representación proyectiva contiene un vector que es invariante hasta fases, entonces no es una representación "intrínsecamente proyectiva": reescalar las unitarias por fases la convierte en una verdadera representación.

Pero en cualquier FTQ sin ruptura de simetría hay un estado invariante: ¡el vacío! Así que el argumento anterior muestra que las simetrías no rotas no pueden ser representadas de forma proyectiva en FTQ.

Mi pregunta: ¿Qué pasa con las representaciones espinoriales del grupo de Lorentz - son proyectivas, verdad?

Answer 1

1. Sí, el OP tiene razón. Más generalmente, uno podría considerar una representación proyectiva (no necesariamente unitaria) $\rho:G\to {\rm End }(V)$ donde $$ \rho(g)\rho(h)~=~c(g,h)\rho(gh),\tag{1}$$ y donde $c(g,h)\in \mathbb{C}^{\times}$ es un 2-cociclo. Supongamos que existe un subespacio invariante de dimensión 1 de $V$, $$\rho(g)|\Omega\rangle~=~b(g)|\Omega\rangle,\qquad |\Omega\rangle~\in~V\backslash\{0\}, \qquad b(g)~\in~ \mathbb{C}^{\times}~:=~\mathbb{C}\backslash\{0\}, \tag{2}$$ es decir, una subrepresentación proyectiva de dimensión 1. Por lo tanto $$ c(g,h)~=~b(gh)^{-1}b(g)b(h)\tag{3}$$ es una 2-coboundary, es decir $\rho$ puede ser levantada a una representación lineal ordinaria $$ \tilde{\rho}(g)~:=~b(g)^{-1}\rho(g),\qquad \tilde{\rho}(g)\tilde{\rho}(h)~=~\tilde{\rho}(gh),\tag{4}$$ tal que $\tilde{\rho}$ actúa trivialmente en el vacío $$ \left.\tilde{\rho}\right|_{{\rm span}|\Omega\rangle}~=~ \left.{\bf 1}\right|_{{\rm span}|\Omega\rangle}, \tag{5}$$ cf. pregunta principal del OP.

2. El OP tiene una última subpregunta sobre las representaciones espinoriales para el grupo de Lorentz restringido $SO^+(1,3)$ que parece haber sido respondida en otra publicación del OP aquí, es decir, se debería considerar su doble cubierta $$Spin^+(1,3)~\cong~ SL(2,\mathbb{C})\tag{6}$$ en su lugar.