Ejemplo de $\text{codim}_XY\geq 2$ y $\mathscr{O}_X(X\setminus Y) \neq A(X)$ cuando $A(X)$ no es un UFD

Question

Este es el Ejercicio 3.12(b) de las notas de Álgebraic Geometry de Gathmann 2021.

Sea $Y$ una subvariedad irreducible no vacía de una variedad afín $X$ y definamos $U=X\setminus Y$. El Ejercicio 3.12(b) pide un ejemplo en el que si no se asume que $A(X)$ es un DIP, entonces existe un $Y$ tal que $\text{codim}_XY\geq 2$ y $\mathscr{O}_X(U)\neq A(X)$, donde $\mathscr{O}_X(U)$ es el anillo de funciones regulares en $U$ y $A(X)$ es el anillo de coordenadas de $X$.

Intenté con $X=V(x_1x_4-x_2x_3)\subset \mathbb{A}^4$, para el cual $A(X)$ se sabe que no es un DIP en un ejercicio anterior. La única subvariedad irreducible (hasta una permutación) de codimensión $2$ que encontré es $Y=V_X(x_1,x_2,x_3)$, ya que $V(x_1,x_2)$ es irreducible de codimensión $1$. Ahora que

$$U = D(x_1)\cup D(x_2)\cup D(x_3),$$

los elementos en $\mathscr{O}_X(U)$ son la unión de funciones regulares en los conjuntos $D(x_i)$, $i=1,2,3$. Para encontrar un elemento en $\mathscr{O}_X(U)$ que no esté en $A(X)$, consideré $\frac{x_3}{x_1}\in \mathscr{O}_X(D(x_1))$ y $\frac{x_4}{x_2} \in \mathscr{O}_X(D(x_2))$. Coinciden en $D(x_1)\cap D(x_2)$, sin embargo, no logré encontrar una extensión de ellos a $D(x_3)$.

Una dificultad similar aparece cuando intenté considerar $X=V(x_1x_5- x_2x_4, x_2x_6 -x_3x_5, x_1x_6-x_3x_4) $ y $X= V(x_1x_2x_3-x_4x_5x_6)$.

¿Hay algún ejemplo sencillo para esta pregunta? Gracias de antemano por cualquier ayuda.

EDIT: Además, se asume que el campo base $K$ siempre es algebraicamente cerrado, así que el ejemplo debe cumplir mejor esta condición...

Answer 1

Aparentemente el ejemplo más simple: Sea $X = V(x_1,x_2)\cup V(x_3)\subset \mathbb{A}^3$ y $Y =V(x_1,x_2)\cap V(x_3) =V(x_1,x_2,x_3)$, entonces $Y$ es un punto, por lo tanto tiene codimensión $2$ en el plano $V(x_3)$. $U=X\setminus Y$ es la unión disjunta de conjuntos abiertos $X\setminus V(x_1,x_2)$ y $X\setminus V(x_3)$, por lo tanto las funciones regulares en $U$ son pares de funciones regulares en $ X\setminus V(x_1,x_2)$ y $X\setminus V(x_3)$. Dado que $\mathscr{O}_X(X\setminus V(x_3))=A(X)_{x_3}$, se sigue que $\mathscr{O}_X(U)\neq A(X)$.