Pruebas de ergodicidad de la acción de Sl(2, Z) en R^2 sin usar la dualidad

Question

El grupo $ G = SL(2, R) $ actúa linealmente en $ \mathbb R^2 $. La medida de Lebesgue de $ \mathbb R^2 $ es invariante y ergódica para $ G $. Hay una prueba que utiliza el teorema de dualidad:
Let $ U $ sea el subgrupo unipotente triangular superior de $ G $ y sea $ \Gamma = SL(2, \mathbb Z) $. Entonces $ U $ actúa ergódicamente en $ G / \Gamma $. Por lo tanto, la dualidad nos dice que $ \Gamma $ actúa ergódicamente en $ G / U \cong \mathbb R^2 \backslash 0 $.

Este método es bueno pero no se puede extender a la acción del grupo en variedades no homogéneas. ¿Existen otras pruebas? Sería mejor si pudiera ver diferentes pruebas para aprender métodos.

Answer 1

Lo que llamas "dualidad" (que para dos acciones conmutativas bajo condiciones razonables las propiedades ergódicas de una acción sobre el espacio de órbitas de la otra son las mismas) se remonta al trabajo de Furstenberg en los años 60. Esta idea es especialmente útil al tratar con los llamados flujos geométricos: los horociclo y los geodésicos. Sin embargo, generalmente se sigue en la dirección opuesta a la que mencionas, es decir, primero se estudia la acción en el espacio de órbitas de $\Gamma$ y luego se deducen las propiedades correspondientes de los flujos geométricos.

Te estás refiriendo a la situación con el flujo del horociclo: su ergodicidad en el cociente del plano hiperbólico $\mathbf H^2$ por un subgrupo discreto $\Gamma$ es equivalente a la ergodicidad de la acción de $\Gamma$ en el espacio de horociclos en $\mathbf H^2$ (siendo este último isomorfo a la acción lineal de $\Gamma$ en $\mathbb R^2\setminus\{0\}$). En el caso del flujo geodésico, el espacio de sus órbitas, es decir, el espacio de geodésicas en el plano hiperbólico, es isomorfo al cuadrado del círculo fronterizo con la diagonal removida $\partial\mathbf H^2\times\partial\mathbf H^2\setminus \text{diag}$. En particular, las medidas invariantes del flujo geodésico están en una correspondencia natural uno a uno con los llamados flujos geodésicos actuales, es decir, medidas de Radón invariantes en $\partial\mathbf H^2\times\partial\mathbf H^2\setminus \text{diag}.

Para los flujos geodésicos, el caso de "grandes" superficies y variedades (con volumen infinito) se estaba considerando desde el mismo inicio de la teoría en los años 30 (y en el caso de curvatura constante finalizado en el denominado teorema de Hopf-Tsuji-Sullivan a fines de los años 70), mientras que para el flujo del horociclo no fue realmente considerado (y resuelto) hasta finales de los años 90. En general, demostrar la ergodicidad del flujo del horociclo en una superficie general consiste en dos componentes: (1) establecer la ergodicidad de la acción fronteriza, (2) probar la ergodicidad del llamado cociente de Busemann (que determina la extensión desde el círculo fronterizo al espacio de horociclos). Para más detalles, consulte los trabajos de Babillot - Ledrappier MR1699356, Kaimanovich MR1738739, MR1919405, MR2731695, Pollicott MR1739598, Coudene MR1836430, Solomyak MR1860491, Ledrappier MR1871151, Hamenstadt MR1926280, Ledrappier - Pollicott MR1953296, Babillot MR2087786, Ledrappier - Sarig MR2226490, Sarig MR2827866.

Answer 2

Recomiendo el trabajo de Thomas Roblin "Ergodicité et équidistribution en courbure négative" Mémoires de la SMF 95 (2003), además de las referencias mencionadas en la primera respuesta.

En particular, no necesita ninguna suposición de compacidad o volumen finito, trabaja con curvatura negativa variable e incluso en espacios CAT(-1) $X$, no solo en variedades.

En este marco, las propiedades ergódicas de la foliación horoesférica están relacionadas (por dualidad) con las propiedades ergódicas de la acción de $\Gamma$ en el espacio de horoesferas $\partial\tilde{X}\times \mathbb{R}$ (que se identifica con $\mathbb{R}^2\setminus \{0 \}/\pm$ en el caso de superficies hiperbólicas). Estas propiedades ergódicas están fuertemente relacionadas con la propiedad de mezcla del flujo geodésico.

Como se mencionó al principio de la primera respuesta, en el enfoque mucho más antiguo de Furstenberg, se utiliza el análisis armónico en $\mathbb{R}^2$ para obtener la unicidad ergódica de la acción de un grupo fuchsiano cocompacto $\Gamma$ en $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$, y la unicidad ergódica del flujo horocíclico en $SL(2,\mathbb{R})/\Gamma$ se deduce por dualidad.

El enfoque moderno (como en Roblin, o Coudène, u otros) a través de la mezcla es más dinámico.