$$\frac{1}{n^2-1} = \frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)$$
Para mí es fácil entender esto algebraicamente de derecha a izquierda , pero me resulta difícil encontrar una manera razonable de trabajar de izquierda a derecha.
En cuanto a la dificultad esperada, el nivel de manipulación algebraica aquí se entiende para un curso de Cálculo II.
Gracias a todos.
Escriba $$R = \frac{1}{n^2 - 1} = \frac{1}{(n - 1)(n + 1)}$$
Ahora, queremos descomponer $R$ en algo con denominador $(n - 1)$ y denominador $(n + 1)$
La forma estándar de hacer esto es mediante un método conocido como "fracciones parciales". Asignamos $R$ a
$$R = \frac{A}{n - 1} + \frac{B}{n + 1} = \frac{1}{(n - 1)(n + 1)}$$
Multiplicando en cruz,
$$R = \frac{A (n + 1) + B (n - 1)}{(n - 1)(n + 1)} = \frac{1}{(n - 1)(n + 1)} $$
Dado que los denominadores son iguales, podemos simplemente igualar los numeradores y ver qué valores de A, B necesitamos.
$$ A(n + 1) + B(n - 1) = 1 + 0n \\ (A - B) + n(A + B) = 1 + 0n $$
Claramente, tenemos dos ecuaciones (asignando los coeficientes del término constante y de $n$ entre sí.
$$ A - B = 1 \\ A + B = 0 $$
Sustituyendo $B = -A$ en la primera ecuación,
$$ A - (-A) = 1 \\ 2A = 1 \\ A = \frac{1}{2} $$
Sustituyendo $A = \frac{1}{2}$ en $A + B = 0$ nos da $B = \frac{-1}{2}$
Por lo tanto, $$R = \frac{\frac{1}{2}}{n - 1} + \frac{\frac{-1}{2}}{n + 1} \\ = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right)$$
Piensa en pasar a un denominador común, en sentido contrario: cada vez que veamos una fracción de la forma ${a\over b\cdot c}$, deberíamos esperar que sea igual a ${x\over b}+{y\over c}$ para algunos valores razonables de $x, y$.
De hecho, una vez que entendemos esta idea, no es difícil ver que esto sucederá siempre que $x$ e $y$ cumplan con $$xc+yb=a.$$ Por supuesto, esto es un poco "de derecha a izquierda" en lo que respecta al EP, pero está motivado por la dirección de izquierda a derecha. Bueno, veamos el caso específico. Aquí, $a=1$, $b=n-1$, $c=n+1$ (ya que $n^2-1=(n-1)(n+1)$). Entonces queremos que $x$ e $y$ cumplan con $$x(n+1)+y(n-1)=1.$$ Esto puede verse complicado, pero tenemos un truco más: queremos que $x$ e $y$ sean simplemente números, no expresiones en términos de $n. (¿Por qué? Bueno, solo porque si pudiéramos, eso haría nuestras vidas más fáciles. :P) Sin embargo, si eso va a funcionar, entonces los $n$ en el lado izquierdo tienen que cancelarse, por lo que debemos tener $$x=-y.$$ ¡Ajá! Ahora eso se simplifica para obtener $$x+(-x)(-1)=1,$$ es decir, $$x={1\over 2}$$ y así $$y=-{1\over 2}.
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