¿Cuál es la probabilidad de lanzar 10.000 monedas y obtener al menos una secuencia de 10 cabezas consecutivas?

Question

Sé que la probabilidad de obtener 10 caras consecutivas es (0.5)ˆ10 = 0.0009765625. Sin embargo, no sé cómo calcular la probabilidad de obtener al menos una secuencia de 10 caras consecutivas de entre 10,000 monedas independientes (lanzando 10 veces cada moneda)

Gracias por toda la ayuda

Answer 1

Usando la fórmula mostrada en MathWorld: $$R_p(r,n) = \sum_{i=r}^n c_i^p, \\ F_p(r,s) = \frac{p^r s^r (1-p s) }{1-s + (1-p) p^r s^{r+1}} = \sum_{i=r}^\infty c_i^p s^i,$$ para las elecciones $p = 1/2$, $r = 10$, $n = 10^4$, usando Mathematica, obtengo la probabilidad $$0.99258389438655053993775098855095821370491145810634378756681285501319 7695\ldots.$$

Esto también se puede expresar como $$1 - \frac{F_{10^4+2}^{(10)}}{2^{10^4}},$$ y en general, para $n$ lanzamientos de moneda justa, la probabilidad de obtener al menos una secuencia de $r$ caras consecutivas es $$1 - \frac{F_{n+2}^{(r)}}{2^n},$$ donde $F_n^{(r)}$ es un número de Fibonacci $r$-step que satisface la relación de recurrencia $$F_n^{(r)} = \begin{cases} 0, & n \le 0, \\ \sum_{i=1}^{r} F_{n-i}^{(r)}, & n \ge 1, \end{cases}$$ de la cual la secuencia de Fibonacci familiar corresponde a $r = 2$. Esto a su vez puede escribirse como $$1 - \frac{1}{2^n} \left[\frac{\rho^{n+1} (\rho - 1)}{(r+1)\rho - 2r}\right],$$ donde $[ \cdot ]$ representa la función de entero más cercano, y $\rho > 1$ es la raíz positiva no trivial de $$\rho^{r+1} - 2\rho^r + 1 = 0.$$ En tu caso, $r = 10$ da $$\rho \approx 1.9990186327101011386634092391291528618543100760622.$$

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Una aproximación burda usando una distribución de Poisson es posible. Notamos que para una moneda justa la probabilidad de 10 caras consecutivas es $\lambda = 1/1024$. Este es nuestro parámetro de tasa de "evento raro". Entonces, si tratamos los lanzamientos de moneda como un proceso de Poisson, vemos que la probabilidad de que ocurra al menos un evento en $10^4$ observaciones (ignorando la dependencia) es $$\Pr[N \ge 1] = 1 - \Pr[N = 0] = 1 - e^{-10^4/1024} \approx 0.999943.$$ Esto sobreestima la verdadera probabilidad porque, como sabemos, las secuencias de 10 lanzamientos no son independientes.

Answer 2

Aquí hay un intento de solución: Deje que la probabilidad de obtener al menos una cadena de $M$ cabezas consecutivas en un total de $n$ lanzamientos sea $p_{n}$. Claramente $p_{n} = 0$ si $n \begin{align} p_{n} &= 2^{-1}p_{n-1}\mathbb{1}_{n-1 \geq M} + 2^{-2}p_{n-2}\mathbb{1}_{n-2 \geq M} + \ldots+2^{-M}p_{n-M}\mathbb{1}_{n-M \geq M} + 2^{-M}\mathbb{1}_{n \geq M}\\ &= 2^{-M}\mathbb{1}_{n \geq M}+\sum_{j=1}^M 2^{-j}p_{n-j}\mathbb{1}_{n-j \geq M} \end{align>

No puedo pensar en una manera fácil de resolverlo, pero al definir $q_{n} = 2^n p_{n} \mathbb{1}_{n\geq M}$, para reescribir la recurrencia anterior como $$ q_{n} = q_{n-1} + q_{n-2} + \ldots + q_{n-M} + 2^{n-M}\mathbb{1}_{n \geq M}$$ podría ayudar.... Tenga en cuenta que en la pregunta planteada $M=10, n=10000$.