Supongamos que tenemos un $f\colon \mathbb{C} \to \mathbb{C} $. Estoy confundido cuando la gente dice que $f$ es un mapa $\mathbb{R}$-lineal o un mapa $\mathbb{C}$-lineal. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos?
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Un mapa lineal $\mathbb{C}$ -lineal $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ necesita cumplir $f(x+y) = f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{C}$ y $f(ax) = af(x)$ para todo $a, x \in \mathbb{C}$.
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Un mapa lineal $\mathbb{R}$ -lineal $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ necesita cumplir $f(x+y) = f(x) + f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{C}$ y $f(ax) = af(x)$ para todo $a \in \mathbb{R}$ y $x \in \mathbb{C}$.
Así que cada mapa lineal $\mathbb{C}$ como el mencionado anteriormente es $\mathbb{R}$ -lineal, pero no al revés. Considere por ejemplo la conjugación compleja $f(a+ib) = a-ib$, que es $\mathbb{R}$ -lineal, pero no $\mathbb{C}$ -lineal.
Supongamos que $V$ es un espacio vectorial sobre dos campos $F$ y $K$. Entonces, un mapa $f:V\to V$ se dice que es $F$-lineal si $f$ es una transformación lineal sobre el campo $F$ cuando $V$ se considera como un espacio vectorial sobre $F$. Además, un mapa $f:V\to V$ se dice que es $K$-lineal si $f$ es una transformación lineal sobre el campo $K$ y en este caso $V$ se considera como un espacio vectorial sobre $K.
Ahora, claramente, un mapa $\mathbb C$-lineal $f: \mathbb C \to \mathbb C$ es $\mathbb R$-lineal ya que $\mathbb R$ se puede tratar como un subcampo de $\mathbb C$. Pero, la conversa no es cierta, es decir, un mapa $\mathbb R$-lineal $f: \mathbb C \to \mathbb C$ no necesita ser un mapa $\mathbb C$-lineal (ya que $f(z) = \overline{z}$ es el mapa requerido que es $\mathbb R$-lineal pero no $\mathbb C$-lineal). Sin embargo, puedes probar lo siguiente:
un mapa $\mathbb R$-lineal $f: \mathbb C \to \mathbb C$ es $\mathbb C$-lineal si $f(i) = if(1)$.
