Disculpas por la larga pregunta.
Recuerdo la definición de un (ingenuo) período según Kontsevitch y Zagier [KS]:
Un (ingenuo) período es un número complejo cuyas partes real e imaginaria son integrales absolutamente convergentes de funciones racionales con coeficientes racionales en dominios de $\mathbb R^d$ limitados por desigualdades polinomiales con coeficientes racionales.
Por ejemplo,
$$\pi = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} dx dy$$
es un período, mientras que se cree que $e$ no es un período. Como señalan [KS], la siguiente definición es equivalente:
Un período es un número complejo que es una integral absolutamente convergente de una función algebraica definida sobre $\mathbb Q$, en dominios de $\mathbb R^d$ limitados por desigualdades polinomiales con coeficientes algebraicos reales.
Para ilustrar, observemos que para $\lambda>1 \in \mathbb Q$,
$$2\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}$$
es un período según la segunda definición, pero no obviamente según la primera. Pero se puede reescribir como
$$\iint_{0 \leq x \leq 1, y^2 \leq x(x-1)(x-\lambda)} dx dy,$$
y por lo tanto también es un periodo según la primera definición.
Kontsevitch y Zagier señalan que los períodos de variedades algebraicas en el sentido clásico son períodos ingenuos. Sea $X/\mathbb Q$ una variedad proyectiva lisa sobre $\mathbb Q$ de dimensión $d$, y $\omega \in H^0(X, \Omega^d_{X/\mathbb Q})$ una forma diferencial algebraica global de grado superior en $X$. Al ser de grado superior, la forma $\omega$ es automáticamente cerrada y da lugar a una clase de cohomología de de Rham $[\omega] \in H^d_{dR}(X/\mathbb C)$ en la cohomología intermedia de la variedad $X(\mathbb C)$, que tiene dimensión real $2d$. Ahora sea $D$ un divisor en $X$ con intersecciones normales, y sea $[\sigma] \in H_d(X(\mathbb C), D(\mathbb C), \mathbb Q)$ una clase de homología con respecto a $D$, representada por una cadena de $d$ cuyos límites están en $D$. Luego la integral
$$\int_\sigma \omega|_{\sigma}$$
depende solo de la clase de homología relativa de $\sigma$ y de la clase de cohomología de $\omega.
Reclamo: la integral $\int_\sigma \omega|_{\sigma}$ es un período.
Kontsevitch y Zagier parecen tratar esto como un hecho obvio. A mí me parece un teorema bastante difícil. ¿Estoy pasando por alto alguna prueba simple?
Para ilustrar, sea $X$ la curva elíptica $y^2z=x(x-z)(x-\lambda z)$, $\omega = dx/y$ es la diferencial invariante en $X$, y $D$ es el divisor vacío, entonces los períodos de $\omega$ en este sentido son precisamente las combinaciones lineales de las integrales de períodos clásicos
$$2\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}, 2\int_\lambda^\infty \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}},$$
lo que muestra que la afirmación es verdadera ya que ambas integrales son períodos ingenuos. Para obtener estas fórmulas integrales, tratamos a $X$ como un recubrimiento ramificado de grado $2$ de $\mathbb P^1$ a través de $(x,y) \mapsto x$; entonces $y$ se convierte en una función multi-valor en $\mathbb A^1$ con puntos de ramificación en $\lambda = 0,1,\lambda, \infty$. La primera homología de $X(\mathbb C)$ está generada por dos ciclos cuya imagen en $\mathbb P^1(\mathbb C)$ rodea las ramas $[0,1]$ y $[\lambda, \infty] \subseteq \mathbb P^1(\mathbb R)$ en sentido horario. Por lo tanto, basta ver que las integrales de $\omega$ a lo largo de estos ciclos son períodos. Consideremos un $1$-ciclo $\sigma$ que rodea la rama $[0,1]$ en sentido horario en la rama de $y$ que es positiva para valores reales de $x$ lo suficientemente grandes. Este ciclo es homólogo al ciclo que va de $0$ a $1$ a lo largo de la rama positiva de $y, luego regresa a $1$ a lo largo de la rama negativa. Así que
$$\int_\sigma \omega = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}} - \int_0^1 \frac{dx}{-\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}} = 2 \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}.$$
Muy bien. Pero ¿qué pasa con una variedad de dimensión $d>1$? Estoy de acuerdo en suponer que el divisor $D$ está vacío, por lo que $[\sigma]$ es la clase de homología de un $d$-ciclo. Así es como pensé que se podría demostrar que la integral $\int_\sigma \omega$ es un período. Sea $U$ un subvariedad afín abierta de $X$ tal que $U(\mathbb C)$ contiene la imagen del $d$-ciclo $\sigma$. Por el lema de normalización de Noether, existe un mapa finito $U \to \mathbb A^d$, y un abierto $V\subseteq \mathbb A^d$ tal que la restricción $U' \to V$ es finita y etale de algún grado $n$. Supongamos aún que $U'(\mathbb C)$ contiene la imagen de $\sigma$. Localmente en la topología compleja de $V(\mathbb C)$, el morfismo $U' \to V$ tiene $n$ secciones a lo largo de las cuales podemos retrotraer la diferencial $\omega$, para obtener una diferencial multivaluada $\omega$ en $V$. Sea $\sigma'$ el $d$-ciclo en $V(\mathbb C)$ obtenido al componer $\sigma$ con $U'(\mathbb C) \to V(\mathbb C)$; la integral
$$\int_{\sigma'}\omega$$
tiene $n$ valores posibles, dependiendo de la rama de $\omega$ que se elija (y luego se continue analíticamente a lo largo de $\sigma'$).
Por lo tanto, se debe demostrar que las integrales $\int_{\sigma'} \omega$ son períodos. El problema es que el ciclo $\sigma$ es solo diferenciable. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, si volvemos a parametrizar la integral
$$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}$$
mediante un difeomorfismo $t \mapsto x(t)$ del intervalo, preservando el límite, entonces obtenemos
$$\int_0^1 \frac{x'(t) dt }{\sqrt{x(t)(x(t)-1)(x(t)-\lambda)}}$$
que ya no es reconocible como un período. Por lo tanto, parece crucial que la clase de homología de un camino $\sigma$ rodeando la rama $[0,1]$ también pueda ser representada por un camino que es piecewise-linear, es decir, el camino que va de $0$ a $1$ en tiempo constante en la hoja superior y regresa a $0$ en tiempo constante en la hoja inferior.
Me parece que la afirmación de que $\int_{\sigma'} \omega$ es un período depende del hecho de que cualquier $d$-ciclo $\sigma$ en $V(\mathbb C) \subseteq \mathbb A^d(\mathbb C)$ es homólogo a uno que es piecewise-linear, o incluso piecewise-polynomial, con coeficientes algebraicos. Me parece que esto es cierto, aunque probablemente sea un teorema bastante difícil de topología algebraica.
¿Es correcta mi forma de abordar este problema, o estoy pasando por alto algo mucho más simple?
Gracias por leer y por tus ideas.
