Manera sistemática de encontrar los límites para el cambio de variables (caso multivariable), Jacobiano

Question

Supongamos que $X,Y$ son variables aleatorias normales estándar independientes. Estoy interesado en la distribución $P(X+Y\le 2t)$. Claramente, el dominio de integración en este caso es $-\infty

Si introdujera un cambio de variables $u=\frac{1}{2}(x+y)$ y $v=\frac{1}{2}(x-y)$, ¿cómo puedo determinar sistemáticamente el dominio de integración para $u,v$?

Por lo que parece, claramente $u\le t$. Y juzgando por los valores de $x,y$, $-\infty < u \le t$ y $-\infty

Answer 1

Mi sistema es expresar las desigualdades que describen el dominio en términos de nuevas variables. El dominio original estaba descrito por $x+y\le 2t$, sin ninguna otra restricción. La sustitución $x = u+v$ y $y = u-v$ convierte esto en $$(u+v) + (u-v ) \le 2t$$ lo cual se simplifica a $u\le t$; sin otras restricciones.