En este post, sin más, se supone que todas las C*-álgebras tienen un elemento de identidad y las subálgebras heredan la identidad.
Pregunta: Dejemos que C sea una subálgebra C* de B . Supongamos que para cada álgebra C* A que contiene C como una subálgebra C* y cada C -mapa bimodular ϕ:A→B , ‖ . ¿Se deduce que \mathcal{C} es matricialmente normativa para \mathcal{B} ?
Definiciones:
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Dejemos que \mathcal{A} y \mathcal{B} sean álgebras C* y que \phi:\mathcal{A}\to\mathcal{B} sea un mapa lineal. Definir, para cada n\in\mathbb{N} , \phi_n:M_n(\mathcal{A})\to M_n(\mathcal{B}) por \phi_n((a_{ij}))=(\phi(a_{ij})) . El cb norma de \phi se define por \|\phi\|_{cb}=\sup_{n\in\mathbb{N}}\|\phi_n\| . (El "cb" significa completamente acotado, y \phi se llama completamente acotado cuando su norma cb es finita).
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Una subálgebra C* \mathcal{C} de un álgebra C* \mathcal{B} se llama normalización matricial para \mathcal{B} si para cada n\in\mathbb{N} y cada n -por- n matriz (b_{ij}) en el álgebra C* M_n(\mathcal{B}) , \|(b_{ij})\|=\sup\left\{ \left\| \sum_{i,j=1}^n x_i b_{ij} y_j \right\|: x_i,y_j\in\mathcal{C}, \left\| \sum_{i=1}^n x_i x_i^* \right\|\leq1, \left\| \sum_{j=1}^n y_j^* y_j \right\|\leq1\right\}.
Observaciones:
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La condición de normalidad matricial dice que las matrices sobre \mathcal{B} están "normados" por matrices contractivas de filas y columnas sobre \mathcal{C} . Es decir, para B\in M_n(\mathcal{B}) , \|B\|=\sup\|RBC\| donde el sup se toma sobre todas las filas R y columnas C de longitud n de elementos de \mathcal{C} tal que \|RR^*\|\leq1 y \|C^*C\|\leq1 . (Así, por ejemplo, se ve fácilmente que \mathbb{C} es matricialmente normativa para \mathbb{C} .) A veces se utiliza simplemente "normar" en lugar de "normar matricialmente", pero yo estoy utilizando el término más descriptivo que se encuentra en El libro de Paulsen .
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La pregunta inversa es válida. Es decir, si \mathcal{C} es una subálgebra C* matricialmente normativa de \mathcal{B} , entonces para toda álgebra C* \mathcal{A} que contiene \mathcal{C} como una subálgebra C* y cada \mathcal{C} -mapa bimodular \phi:\mathcal{A}\to\mathcal{B} , \|\phi\| = \|\phi\|_{cb} . Esto es lo que inspiró la pregunta, que me planteó un compañero de posgrado después de haber estudiado el capítulo 8 del libro de Paulsen.
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La subálgebra de escalares es matricialmente normativa para una álgebra C* conmutativa, por lo que si hay un contraejemplo es con una no conmutativa \mathcal{B} .
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Creo que eso se traduce en este documento de Smith se puede utilizar para demostrar que no hay ningún contraejemplo cuando \mathcal{C}=\mathbb{C} . Allí se demuestra que si todos los mapas lineales acotados de todas las álgebras C* a \mathcal{B} están completamente acotados, entonces \mathcal{B} debe ser isomorfa a una subálgebra de M_n(C(X)) para algunos n\in\mathbb{N} y algún espacio compacto de Hausdorff X . Pero entonces si \mathcal{B} es no conmutativo, el mapa de transposición debería dar un ejemplo de un mapa cuya norma cb es mayor que su norma de operador.
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Para más información sobre las subálgebras C* matriciales normalizadas, el documento de Pop, Sinclair y Smith es un buen punto de partida.
