En este post, sin más, se supone que todas las C*-álgebras tienen un elemento de identidad y las subálgebras heredan la identidad.
Pregunta: Dejemos que $\mathcal{C}$ sea una subálgebra C* de $\mathcal{B}$ . Supongamos que para cada álgebra C* $\mathcal{A}$ que contiene $\mathcal{C}$ como una subálgebra C* y cada $\mathcal{C}$ -mapa bimodular $\phi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ , $\|\phi\| = \|\phi\|_{cb}$ . ¿Se deduce que $\mathcal{C}$ es matricialmente normativa para $\mathcal{B}$ ?
Definiciones:
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Dejemos que $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ sean álgebras C* y que $\phi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ sea un mapa lineal. Definir, para cada $n\in\mathbb{N}$ , $\phi_n:M_n(\mathcal{A})\to M_n(\mathcal{B})$ por $\phi_n((a_{ij}))=(\phi(a_{ij}))$ . El cb norma de $\phi$ se define por $\|\phi\|_{cb}=\sup_{n\in\mathbb{N}}\|\phi_n\|$ . (El "cb" significa completamente acotado, y $\phi$ se llama completamente acotado cuando su norma cb es finita).
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Una subálgebra C* $\mathcal{C}$ de un álgebra C* $\mathcal{B}$ se llama normalización matricial para $\mathcal{B}$ si para cada $n\in\mathbb{N}$ y cada $n$ -por- $n$ matriz $(b_{ij})$ en el álgebra C* $M_n(\mathcal{B})$ , $$\|(b_{ij})\|=\sup\left\{ \left\| \sum_{i,j=1}^n x_i b_{ij} y_j \right\|: x_i,y_j\in\mathcal{C}, \left\| \sum_{i=1}^n x_i x_i^* \right\|\leq1, \left\| \sum_{j=1}^n y_j^* y_j \right\|\leq1\right\}.$$
Observaciones:
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La condición de normalidad matricial dice que las matrices sobre $\mathcal{B}$ están "normados" por matrices contractivas de filas y columnas sobre $\mathcal{C}$ . Es decir, para $B\in M_n(\mathcal{B})$ , $\|B\|=\sup\|RBC\|$ donde el sup se toma sobre todas las filas $R$ y columnas $C$ de longitud $n$ de elementos de $\mathcal{C}$ tal que $\|RR^*\|\leq1$ y $\|C^*C\|\leq1$ . (Así, por ejemplo, se ve fácilmente que $\mathbb{C}$ es matricialmente normativa para $\mathbb{C}$ .) A veces se utiliza simplemente "normar" en lugar de "normar matricialmente", pero yo estoy utilizando el término más descriptivo que se encuentra en El libro de Paulsen .
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La pregunta inversa es válida. Es decir, si $\mathcal{C}$ es una subálgebra C* matricialmente normativa de $\mathcal{B}$ , entonces para toda álgebra C* $\mathcal{A}$ que contiene $\mathcal{C}$ como una subálgebra C* y cada $\mathcal{C}$ -mapa bimodular $\phi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ , $\|\phi\| = \|\phi\|_{cb}$ . Esto es lo que inspiró la pregunta, que me planteó un compañero de posgrado después de haber estudiado el capítulo 8 del libro de Paulsen.
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La subálgebra de escalares es matricialmente normativa para una álgebra C* conmutativa, por lo que si hay un contraejemplo es con una no conmutativa $\mathcal{B}$ .
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Creo que eso se traduce en este documento de Smith se puede utilizar para demostrar que no hay ningún contraejemplo cuando $\mathcal{C}=\mathbb{C}$ . Allí se demuestra que si todos los mapas lineales acotados de todas las álgebras C* a $\mathcal{B}$ están completamente acotados, entonces $\mathcal{B}$ debe ser isomorfa a una subálgebra de $M_n(C(X))$ para algunos $n\in\mathbb{N}$ y algún espacio compacto de Hausdorff $X$ . Pero entonces si $\mathcal{B}$ es no conmutativo, el mapa de transposición debería dar un ejemplo de un mapa cuya norma cb es mayor que su norma de operador.
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Para más información sobre las subálgebras C* matriciales normalizadas, el documento de Pop, Sinclair y Smith es un buen punto de partida.
