Pregunta sobre la base (o conjuntos completos) en el espacio de funciones

Question

Mi lenguaje de matemáticas puede ser descuidado ya que tengo antecedentes en física.

Las funciones transformables de Fourier $f(x)$ (que cumplen la condición de integrabilidad absoluta $\int\limits_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx<\infty$) se pueden descomponer como $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(k)e^{ikx}dk\tag{1}$$ lo que implica que para tales funciones $f(x)$, el conjunto $\{e^{ikx}\}$ donde $k$ varía de manera continua desde $-\infty$ hasta $+\infty$ forma un conjunto completo. De manera similar, las funciones $g(x)$ que son transformables de Laplace se pueden escribir como $$g(t)=\int\limits_{0}^{\infty}\tilde{g}(s)e^{-st}ds.\tag{2}$$

¿No significa esto que el conjunto $\{e^{-st}\}$ donde $s$ varía de manera continua desde 0 hasta $+\infty$ también forma un conjunto completo para las funciones $g(x)$?

Answer 1

El OP ha dicho que va a borrar la pregunta - como eso aún no ha sucedido, puede haber una respuesta para el registro:

Nada de esto tiene mucho sentido, según veo: La pregunta pregunta algo sobre la transformada de Laplace, por analogía con la transformada de Fourier, pero los hechos anteriores sobre la transformada de Fourier simplemente no son así.

Primero, asumir solo $\int|f(t)|\,dt<\infty$ no implica que $f$ tenga una representación $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(k)e^{ikx}dk.$$ Eso sería cierto si $\int|f|<\infty$ y $\int|\hat f|<\infty$.

¿Esto implica que las funciones $e^{ikt}$ forman un "conjunto completo"? El OP aclaró en un comentario que aquí "conjunto completo" significa "conjunto completo en $L^2$". Las funciones $e^{ikt}$ ciertamente no son un conjunto completo en $L^2, ya que obviamente ni siquiera son elementos de $L^2$ para empezar.

Ahora llegamos a la pregunta sobre funciones "transformables por Laplace". Mi mejor suposición, no confirmada ni negada por el OP, es que decir que $g$ es transformable por Laplace significa que $g$ tiene una transformada de Laplace. Si es así, entonces decir que $g$ es transformable por Laplace no significa que $$g(s)=\int_0^\infty\tilde g(t)e^{-st}\,dt;$$ (o si lo hace, esto es nuevo para mí) - eso dice que $g$ es una transformada de Laplace (en particular, es la transformada de Laplace de $\tilde g$), no que $g$ tiene una transformada de Laplace.

(No, al pensarlo bien, decir que $g$ tiene una transformada de Laplace claramente no implica que $g$ es una transformada de Laplace. Por ejemplo, bajo condiciones mínimas de crecimiento en $h$, si $g=\mathcal L\{h\}$ entonces $g$ es continua).