¿Cuáles son los componentes de una función?

Question

¿Alguien puede decirme qué se entiende por La acción de f sobre la entrada x se escribe en forma de componentes como $f(x) = (f_1 (x), \dots, f_m(x) )$?

¿Qué es el componente de una función? Entonces, si $m = 2$, y digamos que $f(x) = \sin(x)$, ¿cuáles son sus componentes? No estoy preguntando por los parciales aquí.

$$\sin(x) = (\sin(x),\sin(y))$$

Answer 1

Las funciones no tienen componentes, los vectores (o puntos) tienen componentes.

La función $f$ mapea elementos de $U$ a puntos en $\mathbb R^n$. "La acción de $f$ en la entrada $x$" simplemente significa lo que $f$ hace a $x, es decir, la salida$f(x)$, que es un punto en$\mathbb R^n. Tal vez sea más claro si le damos a este punto un nombre, $y=f(x)$. Entonces $y$ se puede "escribir en forma de componentes" como $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$. Podemos ir más allá y tratar $y_1, y_2, \ldots, y_n$ ellos mismos como $n$ funciones diferentes de $x, es decir,$f_1,f_2,\ldots,f_n$que cada uno mapea un elemento de$U$a un número en$\mathbb R$.

Por ejemplo, supongamos que $f:\mathbb R\to\mathbb R^2$ es la función que mapea $x$ al punto $(\cos x,\sin x)$. Las dos componentes de este punto son $\cos x$ y $\sin x. Podemos definir dos funciones$f_1(x)=\cos x$y$f_2(x)=\sin x$, y luego decir que$f(x)=(f_1(x),f_2(x))$.