Por favor, demuestra que no es uniformemente convergente. ¿Es verdadera esa solución?

Question

Demuestra que no es uniformemente convergente $(0,\infty)$
\begin{align} f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2} \end{align> Sé cómo resolver esta pregunta de otra manera. Solo me pregunto si la solución se puede hacer de la siguiente manera.

Tenemos $f_n(x) \to 0$. Si no es uniformemente convergente, n depende de $(x,\epsilon)$. Si es convergente, entonces $\forall \epsilon \quad \exists N, n\geq N$ tal que $|f_n(x)-0| < \epsilon$ \begin{align} |f_n(x)-0|=\frac{nx}{1+n^2x^2} < \frac{1}{nx} < \frac{1}{Nx} Entonces si fijamos $\epsilon$, podemos elegir $\epsilon = \frac{1}{Nx} \to N=\frac{1}{\epsilon x}$.

Dado que N depende de $x$, es convergente puntualmente. ¿Es esa solución correcta? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sí, demostraste que $$\forall x>0 \; \forall \epsilon>0 \; \exists N=1/x\epsilon \; :$$

$$n>N\implies |f_n (x)-0|<\epsilon $$ esto es la convergencia puntual a la función cero en $(0,+\infty) $.

para convergencia uniforme, observa que para $n $ suficientemente grande, $$\sup_{x>0}|f_n (x)-0|\ge |f_n (1/n)-0|=\frac {1}{2} .$$