¿Es $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ contable?

Question

Me pregunto si $\mathbb{Q}^\mathbb{N}=\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}\times \ldots$ es numerable.

Me encontré con esta pregunta porque estaba buscando para ver si el espacio métrico $(l^1(\mathbb{N}),d_\infty)$ es separable. Con $l^1(\mathbb{N})=\{(x_n)_n \in \mathbb{R}^\mathbb{N}|\sum_{n=0}^\infty |x_n| \ \text{converges} \}$ y $d_\infty((x_n)_n,(y_n)_n)=\sup \{|x_n-y_n| n \in \mathbb{N} \}$. Así que pensé si $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ es numerable entonces $(l^1(\mathbb{N}),d_\infty)$ es separable. Porque entonces $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ sería un subconjunto denso numerable de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ y así $\{(x_n)_n \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}|\sum_{n=0}^\infty |x_n| \ \text{converge} \}$ un subconjunto denso numerable de $\{(x_n)_n \in \mathbb{Q}^\mathbb{N}|\sum_{n=0}^\infty |x_n| \ \text{converge} \}$.

Answer 1

No. $|\Bbb Q^{\Bbb N}|\ge2^{\aleph_0}\gt \aleph_0$.

No. $|\Bbb Q^{\Bbb N}|\ge2^{\aleph_0}\gt \aleph_0$.

Answer 2

Según el teorema de Cantor, $|A|\ge2\implies|A^B|=|A|^{|B|}\ge 2^{|B|}>|B|$. De hecho, puedes demostrar que $\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ utilizando el límite superior $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0^2}=2^{\aleph_0}$.

Answer 3

Pista: Al considerar los dígitos de cada número real, podemos construir una función inyectiva $f: \mathbb{R} \to \mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$.