Solución para $\int \frac{1}{1-we^w}dw$

Question

Estoy buscando una solución o un método de aproximación para : $$\int \frac{1}{1-we^w}dw$$ que surgió mientras trabajaba en un problema de EDO.

¿Tienes alguna sugerencia?

Nota: $w$ también es una función de una variable

Gracias a cualquiera que pueda echar una mano

Actualización:

La EDO original es: $$xdw=(e^{-w}-w)dx$$

Answer 1

¿Cómo encontrar $\mathrm{\sum_{n=1}^\infty E_{n}(n)= \lim_{k\to\infty}\int_1^\infty \frac{e^{kt+t}t^k-e^t}{e^{kt+2t}t^{k+1}-e^{kt+t}t^k}dt=.26929…}$? muestra un resultado interesante de tu integral que será generalizado aquí utilizando series geométricas y funciones tipo gamma. El resultado es simple, pero tiene la restricción de x<Ω=W(1) que es la constante Omega:

$$\int \frac{dx}{1-xe^x}=-\int \sum_{n=0}^\infty \left(xe^x\right)^ndx=-\sum_{n=0}^\infty \int x^n e^{xn}dx$$

Esta es una definición cercana de la función gamma y función integral exponencial mencionada en el enlace en negrita:

$$\sum_{n=0}^\infty \int x^n e^{xn}dx=C-\sum_{n=0}^\infty \frac{ (e^{-n x} (e^x x)^n (-n x)^{-n} Γ(n + 1, -n x))}{n}\mathop=^{x\in\Bbb R} C-\sum_{n=0}^\infty x^{n+1} \text E_{-n}(-n x)=C+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nΓ(1 + n, -n x)}{ n^{n+1}} $$

Si hubiera alguna función, como una función hipergeométrica que dé una forma cerrada, por favor publícala. ¡Por favor corrígeme y dame retroalimentación!