Deje que $G$ sea un grupo finito y permita que $a$ sea un elemento de $G$. Entonces, $|cl ~(a)| = |G:C(a)|$

Question

Sea $G$ un grupo finito y sea $a$ un elemento de $G$. Entonces, $|cl ~(a)| = |G:C(a)|$ donde $cl ~(a)$ se refiere a la clase de conjugación de $a$.

La prueba en el libro que estoy leyendo pide demostrar los siguientes pasos:

$(i)$ Considera la función $T$ que envía el cosete $g ~C(a)$ al conjugado $gag^{-1}$ de $a.

Por lo tanto, consideremos una función $\Psi : G/C(a) \rightarrow cl(a)$ tal que

$\Psi(g ~C(a)) = gag^{-1}$

$(ii)$ Demostrar que $T$ está bien definida

Supongamos que $g_1~C(a) = g_2~C(a)$. Entonces debemos demostrar que $\Psi(g_1~C(a)) = \Psi((g_2~C(a))$ para que $T$ esté bien definida

$g_1~C(a) = g_2~C(a) \implies g_1 g_2^{-1} \in C(a) \implies g_1 = k~g_2|k \in C(a)$

Por lo tanto, $\Psi(g_1C(a)) = g_1ag_1^{-1} = k~g_2 a~g_2^{-1}k^{-1}$

Necesitamos mostrar que lo anterior es igual a $g_2ag_2^{-1}$. Sabemos que $a k=ka$

¿Cómo debo proceder aquí?

$(iii)$ Demostrar que $T$ es uno a uno y sobre

Supongamos que $\Psi(g_1C(a)) = \Psi((g_2~C(a)) \implies g_1ag_1^{-1} = g_2ag_2^{-1} $

$\implies g_2^{-1}g_1 ~a = a~g_2^{-1}g_1$

$ \implies g_2^{-1}g_1 \in C(a)$

¿Cómo puedo probar que $g_1=g_2$ a partir de aquí?

Una vez que se demuestra que el mapeo es finito, se puede demostrar que el mapeo también es sobre, ya que $G$ es finito.

Dejando de lado todos estos pasos, he tratado de explorar si se puede obtener un homomorfismo con el mapeo $\Psi : G \rightarrow cl(a)$ cuyo núcleo sea $C(a)$

Luego $\Psi(g_1g_2) = g_1g_2ag_2^{-1}g_1^{-1} \neq \Psi(g_1)\Psi(g_2) = g_1ag_1^{-1}g_2ag_2^{-1}$ en general ¿o estoy equivocado?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Para (ii), tienes la primera implicación al revés: $$g_1 \, C(a) = g_2 \, C(a) \implies g_2^{-1} g_1 \in C(a) \implies (g_2^{-1} g_1) \, a = a \, (g_2^{-1} g_1) $$ $$ \implies g_1 a g_1^{-1} = g_2 a g_2^{-1} $$

Para (iii), tu objetivo en la demostración de uno a uno no es probar que $g_1=g_2$. Es probar que $g_1 \, C(a) = g_2 \, C(a)$, y casi lo logras.

Para (iii), aunque es cierto que es innecesario demostrar sobre si los grupos son finitos, debes saber que de todas formas existe una demostración de sobre que no utiliza finitud. Por lo tanto, se obtiene que para cualquier grupo $G$, finito o infinito, y para cualquier $a \in G$, la cardinalidad de la clase de conjugación de $a$ es igual al índice de $C(a)$ en $G$.

Para tu cita final, $cl(a)$ no necesita ser un grupo, es simplemente un subconjunto de $G$ en general que no está cerrado bajo la operación. Y $C(a)$ no necesita ser un subgrupo normal. Por lo tanto, en general no puedes esperar la existencia de tal homomorfismo.