Sea $G$ un grupo finito y sea $a$ un elemento de $G$. Entonces, $|cl ~(a)| = |G:C(a)|$ donde $cl ~(a)$ se refiere a la clase de conjugación de $a$.
La prueba en el libro que estoy leyendo pide demostrar los siguientes pasos:
$(i)$ Considera la función $T$ que envía el cosete $g ~C(a)$ al conjugado $gag^{-1}$ de $a.
Por lo tanto, consideremos una función $\Psi : G/C(a) \rightarrow cl(a)$ tal que
$\Psi(g ~C(a)) = gag^{-1}$
$(ii)$ Demostrar que $T$ está bien definida
Supongamos que $g_1~C(a) = g_2~C(a)$. Entonces debemos demostrar que $\Psi(g_1~C(a)) = \Psi((g_2~C(a))$ para que $T$ esté bien definida
$g_1~C(a) = g_2~C(a) \implies g_1 g_2^{-1} \in C(a) \implies g_1 = k~g_2|k \in C(a)$
Por lo tanto, $\Psi(g_1C(a)) = g_1ag_1^{-1} = k~g_2 a~g_2^{-1}k^{-1}$
Necesitamos mostrar que lo anterior es igual a $g_2ag_2^{-1}$. Sabemos que $a k=ka$
¿Cómo debo proceder aquí?
$(iii)$ Demostrar que $T$ es uno a uno y sobre
Supongamos que $\Psi(g_1C(a)) = \Psi((g_2~C(a)) \implies g_1ag_1^{-1} = g_2ag_2^{-1} $
$\implies g_2^{-1}g_1 ~a = a~g_2^{-1}g_1$
$ \implies g_2^{-1}g_1 \in C(a)$
¿Cómo puedo probar que $g_1=g_2$ a partir de aquí?
Una vez que se demuestra que el mapeo es finito, se puede demostrar que el mapeo también es sobre, ya que $G$ es finito.
Dejando de lado todos estos pasos, he tratado de explorar si se puede obtener un homomorfismo con el mapeo $\Psi : G \rightarrow cl(a)$ cuyo núcleo sea $C(a)$
Luego $\Psi(g_1g_2) = g_1g_2ag_2^{-1}g_1^{-1} \neq \Psi(g_1)\Psi(g_2) = g_1ag_1^{-1}g_2ag_2^{-1}$ en general ¿o estoy equivocado?
Gracias por tu ayuda.