Demostrar una aparente igualdad

Question

¿Existe una manera clara de mostrar la siguiente igualdad aparentemente correcta: $$\mathop{\mathbb{E}}(X|Y0, P(Y\geq c)>0, \forall c$.

Creo que esto es cierto debido a la ley de la expectativa total: $$\mathop{\mathbb{E}}(X) = \mathop{\mathbb{E}}(X|Y

Answer 1

$\newcommand{\E}{\mathbb E}\newcommand{\d}{\mathrm d}$Sea $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ el espacio de probabilidad. Entonces tenemos $X:(\Omega,\mathcal F)\to(E, \mathcal G)$ donde $(E,\mathcal G)$ es un espacio de medida. Sea $A$ un evento tal que $\mathbb P(A)>0$, entonces $\mathbb P(\cdot\mid A)$ es una medida bien definida. Pareces definir: \begin{align} \E[X|A]=\int_\Omega X(\omega)\, \d\mathbb P (\omega|A) \end{align} Se puede verificar que $$\d\mathbb P(\omega|A)=\frac{\mathbf{1}_A}{\mathbb P(A)}\d\mathbb P(\omega)$$ Lo verificamos con funciones simples. Sea $f(\omega)=\sum_{k=1}^N b_i \mathbf{1}_{B_i}(\omega)$: \begin{align} \int_\Omega f(\omega)\d\mathbb P(\omega|A)=\sum_{k=1}^N b_i \mathbb P(B_i|A)=\sum_{k=1}^N b_i \frac{\mathbb P(B_i\cap A)}{\mathbb P(A)}=\int_\Omega \sum_{k=1}^N b_i\frac{\mathbf{1}_{B_i\cap A }(\omega)}{\mathbb P(A)}\,\d\mathbb P(\omega)=\int_\Omega f(\omega)\frac{\mathbf{1}_A}{\mathbb P(A)}\d\mathbb P(\omega) \end{align} Dado que se cumple para funciones simples, se cumple para todas las funciones (¿por qué?). Ahora tenemos: \begin{align} \E[X|A]=\int_\Omega X(\omega)\frac{\mathbf{1}_A}{\mathbb P(A)}\d\mathbb P(\omega)=\frac{\E[X\mathbf{1}_A]}{\mathbb P(A)} \end{align} Se ha demostrado un resultado un poco más general de tu afirmación.