Mostrar que la medida es igual a cero

Question

Sea $\mu$ una medida de Borel en $\mathbb{R}$ tal que $\mu(I) \leq v^a(I)$ para cada intervalo acotado $I$, donde $a>1$. Demuestra que $\mu=0.

($v(R)$ es el volumen de $R$)

¿Quizás usemos lo siguiente para demostrarlo?

Para cada rectángulo $R$, $m^*(R)=v(R)$.

¿O debo hacerlo de otra manera? ¿Podrías darme algunas pistas?

Answer 1

Para cada intervalo $I =[x,y)$ y cada $n \in \mathbb{N}$ tenemos que $$I= [x,y)= \bigcup_{k = 0}^{n-1} \underbrace{\left[ x + (y-x)\frac{k}{n},x + (y-x)\frac{k+1}{n}\right)}_{I_k}$$ Entonces $$\mu(I_k) \leq \nu(I_k)^a = \left(\frac{y-x}{n}\right)^a$$ Ahora por aditividad tenemos $$\mu(I) = \sum_{k=0}^{n-1} \mu(I_k) \leq \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{y-x}{n}\right)^a = (y-x)^a n^{1-a} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$$ Por lo tanto $\mu(I)=0$ para cada intervalo, entonces $\mu = 0$.

Answer 2

Pista: Observa que $[a,a+b)=[a,a+b/2)\cup [a+b/2,a+b)$. Usa esto para mostrar que $\mu([a,a+b))$ es menor que cualquier $\varepsilon>0$.