El grupo fundamental etalé de un campo

Question

Antecedentes y motivación: Estoy enseñando la sección de "espacios recubridores" en un curso introductorio de topología algebraica. Pensé que, en los últimos cinco minutos de mi última clase, podría esbozar brevemente cómo calcular el "grupo fundamental de un campo", principalmente como una forma de ilustrar la analogía entre la teoría de Galois y la teoría de espacios recubridores, pero también porque este tipo de cosas me hacen ansioso por aprender más sobre un tema cuando estoy en el lado receptivo de una clase.

Desafortunadamente, hasta ahora, sé poco más sobre el grupo fundamental etal que la definición y un poco de motivación (aunque ciertamente planeo aprender más). En particular, me di cuenta de que hay una pregunta obvia a la que no sé cómo responder. Al definir el grupo fundamental en un entorno algebraico, lo definimos como un límite inverso porque, en general, no hay un análogo natural de un recubridor universal. Sin embargo, si estamos mirando a Spec k, hay un candidato obvio, es decir, el Spec del cierre algebraico de k.

Pregunta: Sea $k$ un campo, con cierre algebraico $K$. ¿Cómo se compara el grupo fundamental etal de Spec $k$ con el grupo de automorfismos de $K$ sobre $k$? Suponiendo que son diferentes, ¿cuáles son las razones (en términos muy generales) para trabajar con uno en lugar del otro?

Answer 1

Essencialmente por definición, el grupo fundamental étale de un campo $k$ es el grupo de $k$-automorfismos de una clausura algebraica separable $k^{\operatorname{sep}}$ sobre $k$. Si $k$ es perfecto, entonces esto es (bien definido hasta un automorfismo interno) $\operatorname{Aut}(\overline{k}/k)$. Por otro lado, cualquier $k$-automorfismo de $k^{\operatorname{sep}}$ se extiende de forma única a un automorfismo de la clausura algebraica $\overline{k}$. Por lo tanto, en todos los casos, el grupo fundamental étale de $k$ es isomorfo a $\operatorname{Aut}(\overline{k}/k).

Answer 2

También para el grupo fundamental étale siempre existe algún recubrimiento universal. Sin embargo, de la manera abstracta en que Grothendieck formuló la teoría de los recubrimientos, un recubrimiento universal solo existiría como un pro-objeto. Entonces, depende de la situación precisa (y las definiciones precisas) si este pro-objeto se puede realizar como un recubrimiento real. Considera el caso de un campo $k$, la pregunta es si

$$\mathrm{Spec}(\overline{k}) \rightarrow \mathrm{Spec}(k)$$

donde $k\subseteq\overline{k}$ es una clausura separable, se considera un mapa étale o no (dependiendo de tus preferencias, solo los álgebras finitos y separables de $k$ pueden darte recubrimientos étale).

Aquí tienes, creo, un ejemplo aún más instructivo. Considera $\mathbb{C}^\ast$ como la variedad algebraica $\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[\mathbb{Z}])$, donde el álgebra de grupo $\mathbb{C}[\mathbb{Z}]$ no es más que el anillo de polinomios de Laurent $\mathbb{C}[t,t^{-1}]$. Un recubrimiento universal topológico está dado por $\exp\colon\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^\ast$, mientras que un recubrimiento universal étale es dado por el pro-recubrimiento

$$\{\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[1/n\mathbb{Z}])\rightarrow\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[\mathbb{Z}])\}$$

(con mapas de transición inducidos por inclusiones $1/n\mathbb{Z}\subseteq 1/mn\mathbb{Z}$). Si uno acepta tales mapas como recubrimientos étale, se puede tomar el límite directo de los anillos involucrados y obtener un recubrimiento universal étale

$$\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[\mathbb{Q}]) \rightarrow \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[\mathbb{Z}]).$$

Este recubrimiento universal algebraico no es (analíticamente) isomorfo a $\exp\colon\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^\ast$; las fibras del recubrimiento algebraico se pueden identificar con la completación profinita de $\mathbb{Z}$ mientras que las fibras del universal analítico/topológico tienen fibras $\mathbb{Z}$ en sí mismo. Hay un mapa de recubrimientos

$$\mathbb{C}^\ast \rightarrow \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[\mathbb{Q}])$$

que en las fibras corresponden a la inclusión de $\mathbb{Z}$ en su completación profinita.

Answer 3

El grupo fundamental étale se define utilizando un procedimiento de reconstrucción que se aplica con mínimas modificaciones a espacios de recubrimiento topológico. Tyler Lawson explicó la correspondencia en su respuesta a una pregunta anterior. Para el caso de los campos, los espacios de recubrimiento corresponden a espectros de álgebras finitas étale $k$ (que son isomorfas a productos finitos de extensiones separables finitas de $k$), y los espacios de recubrimiento conexos corresponden a espectros de extensiones finitas y separables de $k$.

La categoría cuyos objetos son álgebras finitas étale $k$ y cuyos morfismos son mapas de álgebra $k$ es anti-equivalente a la categoría cuyos objetos son conjuntos finitos equipados con acciones continuas de cierto grupo profinito y cuyos morfismos son mapas equivariantes de conjuntos. Este grupo (el grupo fundamental) está definido de forma única hasta isomorfismo por esta propiedad (y de hecho está definido como el grupo de automorfismos de cierto funtor). El grupo fundamental actúa de forma continua en cualquier cierre separable de $k$ por automorfismos de campo, y de hecho constituye todos sus automorfismos de álgebra $k$. Puedes comprobar esto utilizando el hecho de que cada elemento de un cierre separable se encuentra en alguna extensión separable finita de $k$, junto con la compatibilidad proporcionada por la anti-equivalencia de categorías. Si pasas a espectros, obtienes una equivalencia covariante, y los mapas de espectros de campos son los análogos de los mapas de recubrimiento.

En el mundo topológico, la reconstrucción a partir de la categoría de espacios de recubrimiento de tu espacio te proporciona un grupo fundamental que generalmente no es profinito, pero si restringieras tu vista a mapas de recubrimiento con fibras finitas, entonces aparecería la completación profinita de ese grupo.

No me queda claro si esta cantidad de material se puede cubrir razonablemente en 5 minutos, pero como estás dando una discusión motivadora, no veo ningún problema en utilizar el grupo fundamental étale de Clark.