Derivada de Frechet de la norma al cuadrado $\|x\|^2$

Question

Lo saqué de Análisis II, H. Amann, J. Escher, p. 152.

Su definición de la derivada de una función $f$ entre espacios de Banach $E,F$ sobre el campo $\mathbb{K}$ es un operador lineal acotado $A\in\mathcal{L}(E,F)$ tal que $$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)}{\|x - x_0\|} = 0.$$

• Ejemplo de norma al cuadrado: Supongamos que $H$ es un espacio de Hilbert y definimos $f\colon H\to\mathbb{K}$, $x\mapsto \|x\|^2$. Afirmaron que $f$ es continuamente diferenciable y calcularon la derivada como $$Df(x) = 2\operatorname{Re}\langle x,\cdot\rangle,\ \text{para $x\in H$}.$$ Para un espacio de Hilbert real $H$, $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, esto parece estar bien: $Df(x)h = 2\langle x,h\rangle$.

Preguntas:

• Para $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, creo que esto es incorrecto. El cálculo $$f(x+h) - f(x) - 2\operatorname{Re}\langle x,h\rangle = \|h\|^2 = o(\|h\|)$$ sigue funcionando. Por ejemplo, si definimos $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ como $f(x) = |x|^2$, entonces su afirmación es que $Df(x)h = 2\operatorname{Re}(x\overline{h})$. Esto no parece ser lineal. Entonces, ¿su mapa $Df(x) = 2\operatorname{Re}\langle x,\cdot\rangle$ no es lineal en el caso complejo, verdad?

• ¿Tiene $f(x) = \|x\|^2$ una derivada de Frechet en el caso complejo?

Answer 1

Tienes razón. Este es el mismo fenómeno de la derivada de $f(z)=|z|^2$ cuando $z\in\mathbb{C}$. Si interpretas $\mathbb{C}$ como un espacio vectorial real, entonces $f$ es diferenciable y su matriz jacobiana es $$Df(x+iy)=\begin{bmatrix} 2x & 2y\\ 0& 0\end{bmatrix}.$$ Pero si interpretas $\mathbb{C}$ como un espacio vectorial complejo, entonces diferenciabilidad es lo mismo que analiticidad, y no, $f$ no es analítica.

El problema es exactamente que la matriz jacobiana $Df(z)$ no representa un mapeo lineal de $\mathbb{C}$, como bien señalas. (Si lo hiciera, $f$ satisfaría las ecuaciones de Cauchy-Riemann.)