¿Se aplica el teorema de Gauss-Bonnet a superficies no orientables?

Question

Encontré afirmaciones del teorema de Gauss-Bonnet aquí, aquí, aquí, aquí, aquí, aquí, aquí, y aquí. Ninguno de ellos requiere que la superficie sea orientable. Sin embargo, Ted Shifrin afirma en un comentario a esta pregunta que el teorema de Gauss-Bonnet solo se aplica en realidad a las superficies orientables. ¿Todos estos fuentes están incorrectos?

Answer 1

La orientabilidad no es necesaria. De hecho, se puede deducir una versión no orientable del teorema de Gauss-Bonnet a partir de la orientable :

Dada una superficie (compacta) no orientable, digamos $M$, con métrica $g$, consideremos su doble cubierta orientable $\widetilde{M}$. La métrica $g$ se transporta naturalmente a una métrica $\widetilde{g}$ en $\widetilde{M$; es decir, localmente, $\widetilde{M}$ es isométrico a $M$. Entonces es fácil ver que el teorema de Gauss-Bonnet habitual en la doble cubierta orientable implica el teorema de Gauss-Bonnet en la superficie no orientable, porque $2\pi\chi(M) = \pi\chi(\widetilde{M}) = \frac{1}{2}\int_{\widetilde{M}}{K} = \int_{M}K$, donde $K$ denota la curvatura gaussiana.

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Agregado:

Uno podría querer una versión del teorema de Gauss-Bonnet para superficies con borde. De hecho, el argumento anterior se puede aplicar a superficies no orientables con borde. Sea $M$ una superficie no orientable con borde $\partial M$. Entonces correspondientemente tiene una doble cubierta orientable $\widetilde{M}$ con borde $\partial \widetilde{M}$. Como antes, esta doble cubierta es localmente isométrica a $M$. Siguiendo la notación de Wikipedia, tenemos el teorema de Gauss-Bonnet en $\widetilde{M}$: $$\int_{\widetilde{M}}K + \int_{\partial\widetilde{M}}k_g = 2\pi \chi(\widetilde{M})$$ Ahora observamos que cada término es el doble del término correspondiente para $M$. En particular, $\int_{\partial\widetilde{M}}k_g = 2\int_{\partial M}k_g$ simplemente porque se trata de una 2 a 1 doble cubierta isométrica localmente. Como resultado, obtenemos $$\int_{M}K + \int_{\partial M}k_g = 2\pi \chi(M)$$ ¡No hay nada especial en las superficies no orientables!

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Agregado nuevamente:

Permítanme darles un ejemplo, una faja de Möbius. Su Característica de Euler es $0$. La métrica más conveniente en la faja de Möbius es una métrica plana; tal faja de Möbius se puede realizar como un cociente de una faja plana con límites geodésicos paralelos. Con tal métrica, $K=0$ y $k_g=0$, por lo que el LHS del teorema de Gauss-Bonnet es $0$ como se esperaba.

En general, para cualquier métrica en la faja de Möbius, el teorema de Gauss-Bonnet debería mantenerse igual de bien, porque el LHS permanece constante bajo deformaciones suaves de la métrica. (Cualquier deformación es una composición de deformaciones locales, y para deformaciones locales, es un corolario de la versión orientable del teorema de Gauss-Bonnet.)

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Otra prueba fácil es cortar tu superficie en pequeñas piezas orientables. No importa si tu superficie original es orientable o no. El teorema de Gauss-Bonnet se cumple para las piezas individuales, y al unirlas nuevamente, los términos de borde correspondientes a las costuras se cancelan. De esta manera es fácil ver que la orientabilidad no es importante en absoluto en el teorema de Gauss-Bonnet para superficies.

Answer 2

Según la solicitud del OP, estoy publicando los detalles de mis cálculos para la incrustación explícita de la cinta de Möbius $M$ en $\Bbb R^3$. La orientación de (medias) de la curva fronteriza resulta ser un asunto crucial, como sospechaba. Aunque los argumentos teóricos son convincentes, sigo confundido acerca de lo que está mal con los siguientes cálculos. Puedo asegurar ahora que las cifras son correctas.

Considere la parametrización $$x(u,v) = \big((2+v\sin(u/2))\cos u,(2+v\sin(u/2))\sin u,v\cos(u/2)\big), \quad 0\le u\le 2\pi, -1\le v\le 1.$$ Tenga en cuenta que $B = x(0,1) = x(2\pi,-1)$ y $C=x(0,-1)=x(0,1)$. Como puede comprobar, esta es una parametrización ortogonal, y la primera forma fundamental tiene coeficientes $E = \|x_u\|^2 = 4+\frac34 v^2 - \frac12 v^2\cos u + 4v\sin(u/2)$ y $G=\|x_v\|^2 = 1$. Ahora voy a usar las fórmulas estándar para $K$ y $\kappa_g$ en una parametrización ortogonal (ver, por ejemplo, mi texto, pp. 60 y 81): \begin{align*} K &= -\frac1{2\sqrt{EG}}\left(\Big(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\Big)_v + \Big(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\Big)_u\right) \\ \kappa_g &= \frac1{2\sqrt{EG}}\big({-}E_v u'(s) + G_u v'(s)\big)+\theta'(s), \end{align*} este último para una parametrización de arco de la curva. Aquí $\theta$ es el ángulo que la curva forma con $x_u$ en cada punto. En nuestro caso $\theta'=0$ en todas partes. Tenga en cuenta, además, que (olvidando los problemas de orientación por el momento) \begin{align*} \int_M K\,dA &= \iint_{[0,2\pi]\times [-1,1]} -\frac1{2\sqrt{EG}}\left(\Big(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\Big)_v + \Big(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\Big)_u\right)\underbrace{\sqrt{EG}\,du\,dv}_{dA} \\ &= -\frac12\int_0^{2\pi}\int_{-1}^1 \Big(\frac{E_v}{\sqrt E}\Big)_v\,dv\,du \\ &= -\frac12\int_0^{2\pi} \Big(\frac{E_v}{\sqrt E}\Big)\Big|_{v=1} - \Big(\frac{E_v}{\sqrt E}\Big)\Big|_{v=-1} \,du. \end{align*} Respecto al problema de orientación, seguramente estaremos de acuerdo en que $|dA|$ debería coincidir con este $dA$ si eliminamos una regla de la superficie (digamos la regla de $B$ a $C$). Por lo tanto, esta integral debería ser la integral de densidad.

Ahora, $E_v/\sqrt E$ es bastante complicado, pero, usando Mathematica para hacer la integración numérica, encontramos que esta integral es (aproximadamente) $-1.97$. [La comprobación más básica es que es negativa, ya que tenemos una superficie alabeable no desarrollable.]

Ahora podemos usar Mathematica para evaluar las integrales de curvatura geodésica. Notamos que $ds = \frac{ds}{du}du$, así que $\kappa_g\,ds = \big({-}\frac12 E_v/\sqrt E\big)u'(s)\,ds =\big({-}\frac12 E_v/\sqrt E\big)\,du$. En media circunferencia fronteriza, yendo de $B$ a $C$, $$-\frac12\int_0^{2\pi} \frac{E_v}{\sqrt E}\Big|_{v=1}du \approx -4.53,$$ y en la otra mitad, yendo de $C$ a $B$, tenemos $$-\frac12\int_0^{2\pi} \frac{E_v}{\sqrt E}\Big|_{v=-1}du \approx -2.56.$$ Entonces $\int_M K\,dA + \int_{\partial M} \kappa_g\,ds \approx -9.06$ (ciertamente no $0$, ni tampoco un múltiplo entero de $2\pi$).

Para verificar este cálculo, eliminemos un pequeño trozo de nuestra cinta de Möbius, digamos la región correspondiente a $0\le u\le \varepsilon$. Esto nos deja una superficie orientada, sin duda. Su frontera tiene dos piezas adicionales, $u=0$ (orientada hacia abajo) y $u=\varepsilon$ (orientada hacia arriba); estas no tienen contribución, independientemente de $\varepsilon$, ya que las curvas $v$ son segmentos de recta y no tienen curvatura geodésica. Sin embargo, la discrepancia principal es la orientación invertida en el segmento $v=1$. De hecho, para $\varepsilon$ muy pequeño, la integral de $v=1$ es ahora aproximadamente $+4.53$, y — mirabile dictu — observe que $$-1.97 + 4.53 - 2.56 = 0,$$ ¡como debería ser! (Los ángulos exteriores del "rectángulo" contribuyen a $2\pi\chi = 2\pi$.) Pero enfatizo que cuando eliminamos un trozo de la cinta de Möbius para crear una criatura orientada, no tenemos (casi) la misma curva fronteriza que la cinta de Möbius. Esta diferencia, en lo que a mí respecta, es lo que estropea el Teorema de Gauss-Bonnet. Un comentario más: La definición de $\kappa_g$ (como $\kappa\mathbf N\cdot(\mathbf n\times\mathbf T)$, donde $\mathbf T,\mathbf N$ son el marco de Frenet de la curva y $\mathbf n$ es la normal a la superficie) deja claro que cuando tenemos una superficie orientada con frontera, el signo de $\kappa_g$ no cambia si invertimos la orientación de la superficie; pues al hacerlo, cambiamos ambas $\mathbf n$ y $\mathbf T$ por un signo. Sin embargo, si interpretamos $ds$ en esta integral como una medida, como sugiere @SunghyukPark, seguramente debe ser consistente a lo largo de la circunferencia fronteriza de la cinta de Möbius, por lo que no podemos simplemente cambiar el signo de la mitad de la integral de línea. ...

EDITAR: De acuerdo, creo que lo he descubierto, para mi vergüenza. Necesitamos pensar en la curvatura geodésica intrínsecamente (como se hace en una prueba más sofisticada del Teorema de Gauss-Bonnet). Si $e_1$ es el vector tangente unitario a lo largo de $\partial M$ y $e_2$ es la normal apuntando hacia adentro a $\partial M$ en $M$, entonces, por definición, $\kappa_g = \nabla_{e_1}e_1\cdot e_2$. Por lo tanto, de hecho, en el borde superior $v=1$ de nuestro rectángulo de parametrización, la fórmula para $\kappa_g$ que usamos antes está equivocada, y corregir esto es equivalente a invertir la orientación de esa integral superior. Los valores correctos son $$\int_M K|dA| = -1.97 \qquad\text{y}\qquad \int_{\partial M}\kappa_g ds = +4.53-2.56 = +1.97.$$ Por lo tanto, la suma es, de hecho, $2\pi\chi(M) = 0$, como se deseaba. Ahora me siento mejor. :)

Aquí está el gráfico de la curvatura geodésica (superior superior, inferior inferior):

Answer 3

Este es más un comentario ampliado que una respuesta completa, pero espero que cierre la pregunta.

Aplicando un poco de Googlomagic (es decir, buscando "gauss-bonnet no orientable") es posible encontrar lo siguiente:

• un artículo de R. Palais's Un Teorema Gauss-Bonnet Topológico, J.Diff.Geom. 13 (1978) 385-398, donde menciona de pasada que el teorema de Gauss-Bonnet se generaliza fácilmente al caso no orientable considerando medidas.

• una respuesta a esta pregunta con una prueba factible del teorema de Gauss-Bonnet para el caso no orientable;

• y muchas cosas más interesantes, por supuesto :)

En una nota al margen, el Pfaffiano no tiene nada que ver con la orientabilidad, sino más bien con la dimensión: está definido en dimensiones pares (por lo tanto, también en la dimensión 2). Consulta, quizás, aquí para más detalles.