Para varios pedidos $n$ es un ejercicio común demostrar que un grupo finito $G$ de orden $n$ no puede ser simple usando los teoremas de Sylow para mostrar que hay algún primo $p \mid n$ tal que el número $n_p$ de Sylow $p$-subgrupos es igual a $1$, por lo que el único Sylow $p$-subgrupo es normal. Una forma en que estas pruebas pueden proceder es mostrando que si $n_p$ no es igual a $1$, entonces debido a que $n_p \equiv 1 \bmod p$ debe ser muy grande, tan grande que no hay suficiente espacio en $G$ para todos sus Sylow $p$-subgrupos juntos más los otros subgrupos de Sylow.
Sé cómo llevar a cabo este argumento si el exponente $a$ de $p$ en $n$ es $1$ y podemos mostrar que $n_p = \frac{n}{p}$; en este caso los Sylow $p$-subgrupos son cíclicos, por lo que se intersecan solo en la identidad, lo que significa que $G$ tiene al menos $\frac{n}{p}(p - 1)$ elementos de orden $p$, y por lo tanto solo espacio para $\frac{n}{p}$ elementos de otros órdenes.
However, I don't know how to run this argument if $a \ge 2$; this came up when I was trying to answer esta pregunta and specifically trying to show that a group of order $|G| = 3 \cdot 5 \cdot 7^2 = 735$ can't be simple. The Sylow theorems give that if $n_7 \neq 1$ then $n_7 = 15$, so $G$ has the maximum possible number of Sylow $7$-subgroups. The specific question this gave rise to is:
Pregunta específica: ¿Cuál es el límite inferior más afilado sobre el tamaño de la unión de estos $15$ Sylow $7$-subgrupos?
Quería usar las desigualdades de Bonferroni para abordar esta pregunta, usando el hecho de que cualquier par de Sylow $7$-subgrupos se intersecan en a lo sumo $7$ elementos, pero algo muy gracioso sucedió: si aplico Bonferroni a todos los $15$ subgrupos obtengo un límite inferior de
$$15 \cdot 49 - {15 \choose 2} \cdot 7 = 0.$$
El problema es que hay demasiadas intersecciones mutuas entre los $15$ subgrupos. Si en cambio aplico Bonferroni con solo $k$ de los $15$ subgrupos obtengo un límite inferior de
$$49k - 7 {k \choose 2}$$
que resulta estar maximizado cuando $k = 8$, dando un límite inferior de $210$. ¿Es posible hacerlo mejor que esto? ¡Estoy ignorando $7$ de los Sylows!
Entonces la pregunta general es:
Pregunta general: ¿Cuál es el límite inferior más afilado sobre el tamaño de la unión de los Sylow $p$-subgrupos de un grupo finito $G$ que puede escribirse como una función del tamaño $p^a$ de tal subgrupo y el número $n_p$ de tales subgrupos? ¿Qué pasa si se asume que $G$ es simple?
Cuando $a = 1$ la unión tiene exactamente un tamaño de $(p - 1) n_p + 1$. En general, cualquier par de Sylows se intersecan en a lo sumo $p^{a-1}$ elementos, por lo que Bonferroni con $k$ de los Sylows da un límite inferior de
$$k p^a - {k \choose 2} p^{a-1} = k p^{a-1} \left( p - \frac{k-1}{2} \right)$$
que se maximiza cuando $k \approx p$ como arriba (o $k = n_p$, si $p$ es significativamente mayor que $n_p$). Pero cuanto menor sea $p$ en comparación con $n_p$, menos útil será este límite.
