¿Qué es un menor principal de una matriz?

Question

Estaba estudiando el libro de investigación de operaciones de Hamdy A. Taha. Se refería al menor principal de una matriz hessiana. ¿Puede alguien explicar qué se entiende por un menor principal? ¿Es diferente del 'menor de una matriz'?

Answer 1

Un menor de una matriz $A$ es el determinante de una submatriz formada a partir de $A$ al eliminar un conjunto de filas (posiblemente vacío) y un conjunto de columnas (posiblemente vacío). Para que este determinante exista, el número de filas restantes debe ser igual al número de columnas restantes (y debe haber al menos una fila y una columna restante). Un menor principal de una matriz cuadrada es aquel en el que los índices de las filas eliminadas son iguales a los índices de las columnas eliminadas.

Así, para una matriz $3 \times 3$ $A$, podrías no eliminar nada (resultando en el determinante de la matriz en sí misma), eliminar una fila y la columna correspondiente (resultando en uno de los tres posibles determinantes $2 \times 2$), o eliminar dos filas y las dos columnas correspondientes (resultando en uno de los tres elementos diagonales).

Answer 2

Como señaló @RobertIsrael, el menor principal es un menor en el que los índices de la fila y la columna omitidas coinciden. por ejemplo para una $3*3$ matriz: un menor principal se puede crear omitiendo la '1ra fila y 1ra columna', o omitiendo '1ra fila, 2da fila, 1ra columna, 2da columna' y así sucesivamente.

Answer 3

Citando de aquí:

Un menor principal es simplemente el determinante de una submatriz obtenida de A cuando se eliminan el mismo conjunto de filas y columnas.

¿Qué es un menor de una matriz?

Tratemos con una matriz cuadrada $A \in \mathbb{R}^{N \times N}$ por el momento. Un menor de una matriz cuadrada es un número real; es el determinante obtenido "eliminando" ciertas filas y columnas de una matriz.

Concretamente, sea $R = \{R_1, ..., R_m\}$ el conjunto de $m$ filas que queremos eliminar. Entonces, si queremos eliminar las filas 1, 3, 4, tenemos $R = \{R_1=1, R_2=3, R_3=4\}$. De forma similar, sea $C = \{C_1, ..., C_m\}$ el conjunto de $m$ columnas que queremos eliminar.

Dado que comenzamos con una matriz cuadrada y queremos calcular un determinante, también debemos terminar con una matriz cuadrada. Por lo tanto, debemos eliminar un número igual de filas y columnas, es decir, $|R| = |C|$. Este es un requisito básico para obtener menores de una matriz; el número de filas y columnas eliminadas debe ser el mismo. Continuemos llamando a este número $m$.

Además de este requisito, los conjuntos $R$ y $C$ no necesitan ser iguales; podríamos tener $R = \{1, 3, 4\}$ y $C = \{2, 4, 5\}$. Aún así, podemos calcular el determinante de la matriz restante (que será una matriz cuadrada de dimensiones $(N-m) \times (N-m) = 2 \times 2$).

Como ejemplo concreto, supongamos que tenemos $A \in \mathbb{R}^{5 \times 5}$. Tenemos algunas opciones de $R$ y $C$:

• Si elegimos $m=4$, eliminamos 4 filas y columnas, dejando solo un elemento. Por lo tanto, el menor se convierte en el determinante de ese elemento (que es el propio elemento). Esto se llama un menor de primer orden. Hay $5C4 \times 5C4 = 5 \times 5 = 25$ menores de primer orden en una matriz de $5 \times 5$ (cada elemento es un menor de primer orden).
• Si elegimos $m=3$, eliminamos 3 filas y columnas, obteniendo una submatriz 2x2. El determinante de esta matriz (que se calcula de la manera habitual) se llama el menor de segundo orden. Hay $5C3 \times 5C3 = 10 \times 10 = 100$ tales menores.
• Si elegimos $m=3$, eliminamos 2 filas y columnas, obteniendo una submatriz 3x3. Aquí es donde comenzamos a calcular el determinante recursivamente a partir de la submatriz resultante usando los menores de orden 2 y los cofactores $c_{ij}$, multiplicando cada cofactor por $(-1)^{(i+j)}$, etc. Hay $5C2 \times 5C2 = 10 \times 10 = 100$ tales menores.
• Continuando, un menor de orden k es el determinante de cualquier submatriz $k \times k$ de $A \in \mathbb{R}^{N \times N}$. Hay ${}^NC_{(N-k)} \times {}^NC_{(N-k)} = {}^NC_{k} \times {}^NC_{k}$ tales menores de orden k.

¿Qué son los menores principales?

Hasta ahora, hemos permitido que $R$ y $C$ sean conjuntos diferentes, bajo el requisito de que $|R| = |C|$. Si agregamos una restricción adicional de que $R = C$, es decir, eliminamos los mismos índices de filas y columnas, entonces obtenemos un conjunto de menores "principales". Dado que elegimos las mismas filas que columnas, solo tenemos ${}^NC_{(N-k)} = {}^NC_k$ tales menores "principales".

Answer 4

Por favor revisa esto

Menores principales y trazas de menores principales de una matriz cuadrada

http://stemandmusic.in/maths/mvt-algebra/matrixPM.php