En el surrealista números, es justo decir $0.9$ repetición no es igual a $1$?

Question

Me parece que el surrealista números muy interesantes. He intentado mi mejor para trabajar a través de John Conway En Números y Juegos y enseñar a mí mismo de algunos excelentes en línea de los recursos.

He preparado un vídeo corto para introducir surrealista números, pero quiero comprobar que algunas de mis afirmaciones y agradecería un poco de ayuda.

1. Es justo decir que el $0.999$ repetición no es igual a $1$ en el surrealista números? Este es el título de mi video, por lo que realmente quiero para asegurarse de que es una declaración razonable.

2. Puede $\{0, \frac12, \frac34, \frac78, \dots \mid 1\} = 1 - \epsilon$ ser pensado como $0.999$ repetirse?

3. Es el número de $\{0, \frac{9}{10}, \frac{99}{100}, \frac{999}{1000}, \dots \mid 1\}$ también igual a $1 - \epsilon$?

Estoy esperando la respuesta es "Sí" para cada pregunta. Si no, por favor hágamelo saber y voy a tener la tarea de mayormente revisar el video. Gracias!

Answer 1

El surrealista números contienen los números reales (así como infinito y infinitesimal números).

Tanto en $0.999\dots$ $1$ son números reales.

En los números reales $1 = 0.999\dots$, por lo que también debe ser cierto en el surrealista números.

Como Bryan correctamente señala en su respuesta, surrealista números que no son números reales no tienen una expansión decimal. Esto parece socavar la idea de utilizar la $0.999\dots$ a representar un surrealista número.

Answer 2

Considere la secuencia $$x_n=\sum_{i=1}^n\frac{9}{10^i}$$

cuya "límite" entendemos a ser la cosa que llamamos $.9\bar{9}$. Cuando consideramos esta secuencia en el surrealista números, no converge a nada.

Deje $I(1)$ representan al vecindario de todos los números infinitesimales alrededor de $1$. La secuencia no converge a $1$ porque $x_n$ nunca entra en $I(1)$. Si consideramos que cualquier otro número real $x$ menos de $1$, la secuencia de tiempo, superar y también el barrio de $I(x)$. Lo que si es convergente, tendría que convergen para algunos infinitesimal número a la izquierda de $1$, que está en el infinitesimal barrio de $1$. Pero de nuevo, que la secuencia nunca entra en $I(1)$. Por lo $x_n$ no converge; es decir,$.9\bar{9}$, no representa nada significativo en el surrealista números.

Answer 3

Creo que se podría decir que $1 - \varepsilon$ $0.999...$ en el sentido de que $\forall n \in \mathbb{N}, \left\lfloor 10^{n+1}(1-\varepsilon) \right\rfloor - 10\left\lfloor 10^n(1-\varepsilon) \right\rfloor = 9$ $1 - \varepsilon = (+-+++...)$ es el más simple surrealista la satisfacción de este.

$1-\varepsilon = \{0;0.9;0.99;...\} | \{1\}$ porque $\{0;0.9;0.99;...\}$ $\{0;\frac{1}{2};\frac{3}{4};...\}$ son mutuamente cofinal.