Dado números reales $x_1,x_2,\ldots,x_{2n}$. Sea $A$ la matriz $2n\times 2n$ antisimétrica con entradas...

Question

Dados números reales $x_1,\cdots,x_{2n}$, sea $A$ la matriz skew-simétrica $2n \times 2n$ con entradas $a_{i,j}=(x_i-x_j)^2$ para $1 \le i < j \le 2n$. Probar

$$\det(A)=4^{n-1}\left((x_1-x_2)(x_2-x_3)\cdots(x_{2n-1}-x_{2n})(x_{2n}-x_{1})\right)^2$$

He intentado usar la inducción pero no puedo avanzar del paso $n$ a $n+1$. ¿Cómo podemos proceder?

Answer 1

Sea $p(x_1,\dots,x_{2n})$ el determinante deseado como un polinomio en $x_1,\dots,x_{2n}$; es un polinomio homogéneo de grado total $4n$. Notemos que la matriz dada por $(x_2,x_3,\dots,x_{2n},x_1)$ se puede formar a partir de la matriz dada por $(x_1,\dots,x_{2n})$ intercambiando la primera y última fila, intercambiando la primera y última columna, negando la última fila, y negando la última columna, entonces $$p(x_1,x_2,\dots,x_{2n})=p(x_2,\dots,x_{2n},x_1).$$ Afirmamos que $(x_1-x_2)^2\mid p$; de esto y lo anterior se seguirá que $$(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2\cdots (x_{2n-1}-x_{2n})^2(x_{2n}-x_1)^2\mid p,$$ y así (notando el grado de $p$) que $p$ es un múltiplo escalar del polinomio deseado.

Fijemos $x_2,\dots,x_{2n}$ reales arbitrarios, y sea $x_1=x_2+\epsilon$, donde $\epsilon$ puede variar. Basta con mostrar que $p(x_2+\epsilon,x_2,x_3,\dots,x_{2n})=O(\epsilon^2)$. La matriz $A$ definida por estos valores se ve como $$\begin{pmatrix} 0&\epsilon^2&(x_2+\epsilon-x_3)^2&(x_2+\epsilon-x_4)^2&\cdots\\ -\epsilon^2&0&(x_2-x_3)^2&(x_2-x_4)^2&\cdots\\ -(x_2+\epsilon-x_3)^2&-(x_2-x_3)^2&*&*&\cdots\\ -(x_2+\epsilon-x_4)^2&-(x_2-x_4)^2&*&*&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix},$$ donde $*$ denota entradas con las que no nos preocuparemos. Al restar la segunda fila de la primera, y luego la segunda columna de la primera (lo cual no cambia el determinante) obtenemos $$\begin{pmatrix} 0&\epsilon^2&2(x_2-x_3)\epsilon+\epsilon^2&2(x_2-x_4)\epsilon+\epsilon^2&\cdots\\ -\epsilon^2&0&(x_2-x_3)^2&(x_2-x_4)^2&\cdots\\ -2(x_2-x_3)\epsilon-\epsilon^2&-(x_2-x_3)^2&*&*&\cdots\\ -2(x_2-x_4)\epsilon-\epsilon^2&-(x_2-x_4)^2&*&*&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix},$$ por lo que se pueden sacar dos factores de $\epsilon$, uno de la primera fila y otro de la primera columna. Esto muestra que $p(x_2+\epsilon,x_2,\dots,x_{2n})=O(\epsilon^2)$, y por lo tanto que $(x_1-x_2)^2\mid p$.

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Entonces, ahora todo lo que necesitamos hacer es encontrar el factor constante. Haremos esto encontrando $p(\tfrac12,-\tfrac12,\tfrac12,-\tfrac12,\dots)$. Aquí, $$(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2\cdots (x_{2n-1}-x_{2n})^2(x_{2n}-x_1)^2=1$$, así que necesitamos mostrar que $\det A = 4^{n-1}$. La matriz $A$ en este caso se ve como $$\begin{pmatrix}0&1&0&1\\-1&0&1&0\\0&-1&0&1\\-1&0&-1&0\end{pmatrix}$$ (para el ejemplo de $n=2$). Al cambiar el orden de las filas y columnas para colocar las filas y columnas de índices impares en orden antes que las de índices pares (esto no cambia el signo del determinante), obtenemos $$\det A=\begin{vmatrix}0&B_n\\-B_n^T&0\end{vmatrix}$$ donde $B_n$ es la matriz $n\times n$ con $1$s en y sobre la diagonal y $-1$s debajo de ella, entonces $\det A=(\det B_n)^2$. Notemos que $\det B_1=1$; al restar la segunda fila de $B_n$ de la primera obtenemos la matriz en bloques $$\begin{pmatrix}2&0\\-1&B_{n-1}\end{pmatrix},$$ donde $0$ denota una fila de $n-1$ ceros y $-1$ denota una columna de $n-1$ copias de $-1$. Entonces, $\det B_n=2\det B_{n-1}$, y así por inducción $\det B_n=2^{n-1}$. Esto significa que $\det A=4^{n-1}$ y $$p(x_1,\dots,x_{2n})=4^{n-1}(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2\cdots (x_{2n-1}-x_{2n})^2(x_{2n}-x_1)^2,$$ como se deseaba.