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Dado números reales x_1,x_2,\ldots,x_{2n}. Sea A la matriz 2n\times 2n antisimétrica con entradas...

Dados números reales x_1,\cdots,x_{2n}, sea A la matriz skew-simétrica 2n \times 2n con entradas a_{i,j}=(x_i-x_j)^2 para 1 \le i < j \le 2n. Probar

\det(A)=4^{n-1}\left((x_1-x_2)(x_2-x_3)\cdots(x_{2n-1}-x_{2n})(x_{2n}-x_{1})\right)^2

He intentado usar la inducción pero no puedo avanzar del paso n a n+1. ¿Cómo podemos proceder?

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Carl Schildkraut Puntos 2479

Sea p(x_1,\dots,x_{2n}) el determinante deseado como un polinomio en x_1,\dots,x_{2n}; es un polinomio homogéneo de grado total 4n. Notemos que la matriz dada por (x_2,x_3,\dots,x_{2n},x_1) se puede formar a partir de la matriz dada por (x_1,\dots,x_{2n}) intercambiando la primera y última fila, intercambiando la primera y última columna, negando la última fila, y negando la última columna, entonces p(x_1,x_2,\dots,x_{2n})=p(x_2,\dots,x_{2n},x_1). Afirmamos que (x_1-x_2)^2\mid p; de esto y lo anterior se seguirá que (x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2\cdots (x_{2n-1}-x_{2n})^2(x_{2n}-x_1)^2\mid p, y así (notando el grado de p) que p es un múltiplo escalar del polinomio deseado.

Fijemos x_2,\dots,x_{2n} reales arbitrarios, y sea x_1=x_2+\epsilon, donde \epsilon puede variar. Basta con mostrar que p(x_2+\epsilon,x_2,x_3,\dots,x_{2n})=O(\epsilon^2). La matriz A definida por estos valores se ve como \begin{pmatrix} 0&\epsilon^2&(x_2+\epsilon-x_3)^2&(x_2+\epsilon-x_4)^2&\cdots\\ -\epsilon^2&0&(x_2-x_3)^2&(x_2-x_4)^2&\cdots\\ -(x_2+\epsilon-x_3)^2&-(x_2-x_3)^2&*&*&\cdots\\ -(x_2+\epsilon-x_4)^2&-(x_2-x_4)^2&*&*&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}, donde * denota entradas con las que no nos preocuparemos. Al restar la segunda fila de la primera, y luego la segunda columna de la primera (lo cual no cambia el determinante) obtenemos \begin{pmatrix} 0&\epsilon^2&2(x_2-x_3)\epsilon+\epsilon^2&2(x_2-x_4)\epsilon+\epsilon^2&\cdots\\ -\epsilon^2&0&(x_2-x_3)^2&(x_2-x_4)^2&\cdots\\ -2(x_2-x_3)\epsilon-\epsilon^2&-(x_2-x_3)^2&*&*&\cdots\\ -2(x_2-x_4)\epsilon-\epsilon^2&-(x_2-x_4)^2&*&*&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}, por lo que se pueden sacar dos factores de \epsilon, uno de la primera fila y otro de la primera columna. Esto muestra que p(x_2+\epsilon,x_2,\dots,x_{2n})=O(\epsilon^2), y por lo tanto que (x_1-x_2)^2\mid p.


Entonces, ahora todo lo que necesitamos hacer es encontrar el factor constante. Haremos esto encontrando p(\tfrac12,-\tfrac12,\tfrac12,-\tfrac12,\dots). Aquí, (x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2\cdots (x_{2n-1}-x_{2n})^2(x_{2n}-x_1)^2=1, así que necesitamos mostrar que \det A = 4^{n-1}. La matriz A en este caso se ve como \begin{pmatrix}0&1&0&1\\-1&0&1&0\\0&-1&0&1\\-1&0&-1&0\end{pmatrix} (para el ejemplo de n=2). Al cambiar el orden de las filas y columnas para colocar las filas y columnas de índices impares en orden antes que las de índices pares (esto no cambia el signo del determinante), obtenemos \det A=\begin{vmatrix}0&B_n\\-B_n^T&0\end{vmatrix} donde B_n es la matriz n\times n con 1s en y sobre la diagonal y -1s debajo de ella, entonces \det A=(\det B_n)^2. Notemos que \det B_1=1; al restar la segunda fila de B_n de la primera obtenemos la matriz en bloques \begin{pmatrix}2&0\\-1&B_{n-1}\end{pmatrix}, donde 0 denota una fila de n-1 ceros y -1 denota una columna de n-1 copias de -1. Entonces, \det B_n=2\det B_{n-1}, y así por inducción \det B_n=2^{n-1}. Esto significa que \det A=4^{n-1} y p(x_1,\dots,x_{2n})=4^{n-1}(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2\cdots (x_{2n-1}-x_{2n})^2(x_{2n}-x_1)^2, como se deseaba.

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