Teoría de la medida: explicación para un teorema similar a Egorov

Question

---

Sea $ E$ un conjunto medible con $m(E)\lt \infty$, y {$f_n$} una secuencia de funciones medibles definidas en $E$. Sea $f$ una función medible (de valores reales) tal que $f_n(x)\rightarrow f(x)$ para cada $x\in E$. Entonces, dado $\epsilon \gt0$ y $\delta \gt0$, existe un conjunto medible $A\subset E$ con $m(A)\lt \delta$ y un entero $N$ tal que $\vert f_n(x)-f(x)\vert \lt \epsilon $ $\forall x\in E-A$ y para todo $n\ge N$.

---

Si $f_n(x)\rightarrow f(x)$ $\forall x\in E$ entonces dado que $E-A\subset E$ entonces se sigue trivialmente que $\vert f_n(x)-f(x)\vert \lt \epsilon $ $\forall x\in E-A$.

¿Sería correcta esta línea de pensamiento?

Esta cosa ha creado un lío en mi mente. Quiero saber qué significa este teorema. ¿Cuáles son sus aplicaciones? Si es posible, por favor explíquelo con la ayuda de un ejemplo.

También estoy buscando algunas sugerencias sobre cómo seguir con la demostración de este teorema.

¡GRACIAS!

Answer 1

En inglés sencillo, este teorema dice aproximadamente: "Si $f_n$ converge puntualmente a $f$ en un conjunto $E$ de medida finita, entonces para un $n$ suficientemente grande, $f_n(x)$ está cerca de $f(x)$ en todas partes excepto en un pequeño subconjunto de $E".

Por ejemplo, tomemos $E = (0,1)$ y tomemos $f_n(x) = 1/(nx)$, que converge puntualmente a $f(x) = 0$. Dados $\epsilon > 0 $ y $\delta > 0$, podríamos elegir $A = (0,\delta/2)$ y podríamos elegir $N$ como cualquier entero mayor que $2/(\delta \epsilon)$. Entonces para cualquier $x \in E - A = [\delta / 2, 1)$ y para cualquier $n \geq N$, tenemos $|f_n(x) - f(x)| = 1/(nx) < 1/(\tfrac{2}{\delta \epsilon}\times \tfrac{\delta}{2}) = \epsilon$.

No puedo pensar en una gran aplicación de inmediato, pero al menos puedo presentar una demostración:

Fijemos un $\epsilon > 0$. Para cada $n \in \mathbb N$, definimos el conjunto medible, $$ A_n = \{ x \in E \ : \ | f_m(x) - f(x) | \geq \epsilon {\rm \ \ para \ algún \ \ } m \geq n \}.$$ Por lo tanto, $$ A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset A_4 \supset \dots $$

Dado que $f_n$ converge a $f$ puntualmente, sabemos que para cada $x \in E$, es posible encontrar un $n \in \mathbb N$ suficientemente grande tal que $|f_m(x) - f(x) | < \epsilon$ para todo $m \geq n$. Dicho de otra manera: para cada $x \in E$, existe un $n \in \mathbb N$ tal que $x \notin A_n$. Por lo tanto, $$ \cap_{n \geq 1} A_n = \emptyset.$$

Dado que $m(E) < \infty$, un argumento simple usando la aditividad contable de la medida muestra que $$ \lim_{n \to \infty} (A_n) = 0,$$ es decir, para cada $\delta > 0$, existe un $n' \in \mathbb N$ tal que $$ m(A_{n'}) < \delta.$$

Tomemos $N = n'$ y $A = A_{n'}$. Entonces $m(A) < \delta$, y $$ x \in E - A \ \implies \ |f_m(x) - f(x) | < \epsilon {\rm \ \ para \ todos \ } m \geq N.$$