Encontrar una serie de Laurent - revisión de la demostración

Question

Estoy tratando de encontrar el desarrollo de Laurent de:

$$f(z)=\frac{1}{(1-z)(2-z)}$$

En la región $\{z:1<|z|<2\}$. Entonces, para cualquier $p\in (1,2)$, $f$ tiene un polo simple en $z=1$ en $\{z:|z|\leq p\}$. Por lo tanto, el único término negativo de $z$ en la expansión es $\frac{1}{z}$. Para encontrar el coeficiente: $$c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=p}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz\Rightarrow c_{-1}=\int_{|z|=p}f(z)dz=\frac{1}{2-z}\Big|_{z=1}=1$$ Entonces: $$f(z)=\frac{1}{z}+h(z)$$ Para algún $h$ holomorfo.

Primero, ¿es eso correcto? Además, ¿qué es $h$? Supongo que tal vez solo $\frac{1}{2-z}$ pero no estoy seguro...

Answer 1

En lo que respecta a mi experiencia con esto, usando la fórmula integral no es posible, solo necesitamos usar la serie geométrica. Tenemos: $$\begin{align}f(z) &= \frac{1}{(1-z)(2-z)} = \frac{1}{1-z} - \frac{1}{2-z} \\ &= -\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}} - \frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{z}{2}}\end{align}$$ En ese anillo, tenemos $|1/z| < 1$ y $|z/2| < 1$, entonces: $$\begin{align} &=-\frac{1}{z}\sum_{n \geq 0}\frac{1}{z^n}-\frac{1}{2}\sum_{n \geq 0}\frac{z^n}{2^n} \\ &= -\sum_{n \geq 0} \frac{1}{z^{n+1}} -\sum_{n \geq 0}\frac{z^n}{2^{n+1}}.\end{align}$$

Answer 2

$$f(z)=\frac{1}{(1-z)(2-z)}\overset{\text{fracciones parciales}}{=}\underbrace{\frac{1}{z-2}}_{\text{Taylor}}-\underbrace{\frac{1}{z-1}}_{\text{Laurent}}$$

$|\frac 1 z|<1$ and $|\frac z 2|<1$

$$\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2-z}=-\frac 1 2 \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac z 2\right)^n$$

$$\frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z-1}=-\frac 1 z \frac{1}{1-1/z}=-\frac 1 z\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}=-\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n-1}$$

So

$$\boxed{-\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n-1}-\frac 1 2 \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac z 2\right)^n}$$