Contractibilidad del espacio de curvas de Jordan

Question

¿Es el espacio de curvas de Jordan en $\textbf{R}^2$ contractible? En otras palabras, ¿hay una manera canónica o continua de deformar cada curva de Jordan al círculo unitario $\textbf{S}^1$.

Si las curvas son suaves, se puede hacer esto a través del flujo de acortamiento de curvas/reescalado. Creo que este enfoque incluso funciona para curvas rectificables, según un artículo de Lauer. Pero no conozco una referencia para el caso topológico general. En el caso suave, ¿existe una manera de hacer esto sin usar flujos?

Por el espacio de curvas de Jordan aquí me refiero a aplicaciones continuas uno a uno de $\textbf{S}^1$ a $\textbf{R}^2$, módulo homeomorfismos de $\textbf{S}^1$. Así que dos curvas de Jordan están cerca siempre que admitan parametrizaciones que sean cercanas punto por punto.

Answer 1

Parece que la respuesta es "sí".

Identifiquemos $\mathbb{R}^2$ con $\mathbb{S}^2\setminus\{n\}$ . Cada curva de Jordan $\gamma$ delimita un disco que contiene a $n$ . Este disco admite una parametrización conforme por el disco unitario $\mathbb{D}$ tal que su centro va a $n$ . Esta parametrización es única salvo rotación de $\mathbb{D}$ . En particular, la imagen $\gamma_r$ del círculo de radio $r$ en $\mathbb{D}$ está completamente determinada por $\gamma$ . Nota que hay una homotopía que envía $\gamma$ a $\gamma_{1/2}$ . La continuidad en $t=1$ se sigue del Teorema 15 (VIII, §81) en "Funciones Automorfas" de Lester R Ford.

Así que la pregunta se reduce al caso suave, y ya lo sabes.

Answer 2

La construcción de Anton depende continuamente de la curva pero no parece ser completamente canónica, en el sentido de que suavizamientos de dos curvas congruentes pueden no ser congruentes. Podemos asegurarnos de que este sea el caso refinando el argumento de la siguiente manera.

Dada una curva de Jordan $J$ en $\textbf{R}^2$, sea $C$ el círculo más pequeño que la rodea, y $C_\epsilon$ sea el círculo exterior paralelo a una distancia fija $\epsilon>0$. Entonces la región entre $J$ y $C_\epsilon$ forma un anillo topológico $A$. Existe un anillo único $A'$ de la forma $r\leq |z|\leq 1$ que es conforme a $A$ (por ejemplo, ver Teorema 2.7.3 en Mapeos Conformes y Geometría de D. Beliaev). Sea $f\colon A'\to A$ un mapeo conforme. Al restringir $f$ a círculos $|z|=t$ obtenemos una homotopía entre $J$ y $C_\epsilon$ que depende solo de la clase de congruencia de $J$ (la elección de $f$ no importa porque los únicos mapeos conformes $A'\to A'$ son rotaciones o una inversión).