Fantasmas en el Lagrangiano de QCD

Question

El Lagrangiano de QCD es $$ \mathcal{L}_{\text{QCD}} = -\dfrac{1}{2} \text{Tr}\, G_{\mu\nu}G^{\mu\nu} + \sum_i^{N_f} \bar{q_i} \left(i \gamma^\mu \mathcal{D}_\mu - m_i\right)\,q_i, \tag{1} $$ donde $\mathcal{D}_\mu = \partial_\mu + ig G_\mu$, la traza tiene un factor implícito de $1/2$, $G_\mu$ es el campo de gluones y $G_{\mu\nu}$ es la fuerza del campo de gluones.

Ahora, en mi curso de QFT, hemos visto que para cuantizar una $SU(3)$ QFT, debemos usar el método de Faddeev-Popov, que introduce los fantasmas a través del cambio de la medida de la integral de trayectoria. Ahora, no veo rastro de estos (¡muy espeluznantes!) fantasmas en el omnipresente Lagrangiano de QCD (1).

¿Podría alguien explicarme por qué? ¿Se supone que (1) es un Lagrangiano "clásico" que aún tenemos que "cuantizar adecuadamente"? ¿O están escondidos en otro lugar? ¿Se reintroducen después de hacer alguna fijación de calibre? ¡No deberíamos poder ignorarlos, ya que contribuyen a las amplitudes!

Answer 1

Es convencional especificar el Lagrangiano clásico, que no incluye términos fantasma. (Los fantasmas solo contribuyen a nivel de bucle).

Una razón para no escribir términos fantasmas, cuando se habla en general sobre el Lagrangiano clásico de QCD, es que los términos fantasmas dependen de tu procedimiento de fijación de calibre, por lo que depende de cómo elijas hacer el cálculo, mientras que el Lagrangiano QCD clásico invariante bajo calibre no lo hace.

Otra razón es la simplicidad; si estás escribiendo el Lagrangiano clásico de QCD, probablemente sea solo para hacer algunos puntos generales y de alto nivel sobre los grados de libertad o acoplamientos, o para fijar convenciones. En otras palabras, las ecuaciones son herramientas para expresar ideas, y no quieres escribir una ecuación que tenga contenido técnico superfluo que no necesitas para tu discusión. Como ejemplo extremo, el Modelo Estándar puede caber en una taza de café, pero solo si estás dispuesto a usar una notación muy abstracta que deja implícitos muchos detalles técnicos. Sin embargo, la notación abstracta está bien, para la física al nivel de la "taza de café", en el sentido de que expresa que hay una sola ecuación que se puede usar para derivar todos los resultados de la física de partículas, y las diversas piezas conceptuales del Modelo Estándar están representadas.

Por otro lado, si estás escribiendo un artículo sobre cálculos a nivel de bucle en QCD, debes especificar cómo estás haciendo la fijación de calibre y mostrar explícitamente el Lagrangiano fantasma, pero luego el Lagrangiano QCD clásico solo será una de las muchas ecuaciones en tu artículo.

Answer 2

• En pocas palabras, la densidad Lagrangiana de OP (1) es la densidad Lagrangiana original no fijada al calibre ${\cal L}_0$ para QCD. ${\cal L}_0$ define la teoría clásica.

• Ahora vamos a cuantizar la teoría. En el exponente de la integral de trayectoria de Faddeev-Popov, la densidad Lagrangiana completa $$ {\cal L}~=~{\cal L}_0+{\cal L}_{FP}+{\cal L}_{gf}$$ también contiene un término fantasma de Faddeev-Popov ${\cal L}_{FP}$ y un término de fijación de calibre ${\cal L}_{gf}$.

• Para la situación análoga en QED, ver por ejemplo este y este publicaciones en Phys.SE.