Me dijeron que la categoría de anillos conmutativos no es una categoría aditiva todo el tiempo y por lo tanto no es una categoría abeliana.
Una categoría es aditiva si $Hom(A,B)$ es un grupo abeliano para todos los objetos $A, B$ y los morfismos satisfacen leyes distributivas, tiene objetos nulos y tiene coproductos y productos finitos.
Parece que el anillo conmutativo cumple la mayoría de los requisitos excepto que $Hom(A,B)$ sea un grupo abeliano.
$Hom(A,B)$ no es un grupo abeliano tomando cualquier $f\in Hom(A,B)$. Si $f$ tiene inverso $g$, puedo verificar que $g(a_1a_2)=f(a_1a_2)$ lo cual nunca se cancela con $f(a_1a_2).
Definitivamente cumple con las leyes distributivas de los morfismos. (Incorrecto. La ley distributiva falla debido a no fijar $1$.)
El objeto nulo es el anillo 0 ya que el elemento identidad es $0$ en el anillo 0.
El coproducto es el producto tensorial y el producto es la suma directa.
¿La categoría de anillos conmutativos falla solo en el requisito de que $Hom(A,B)$ sea un grupo abeliano?
