Empiezo con un problema simple que pude resolver: Sea $G$ un grupo. Sea $a\in G$. Supongamos que $H := \{g \in G : g^2 \neq a\}$ es un subgrupo de $G$. La pregunta: ¿Podemos definir $H$ con una fórmula "positiva", que no involucre el símbolo $\neq$? La respuesta en este caso es positiva. La mayoría del tiempo $H=G$, y en este caso $H$ está definido por la fórmula positiva $1=1$, pero otras veces $H = \{g \in G : g^2 = 1\}$.
Mi intuición es que los subgrupos definidos con una fórmula deberían parecerse a conjuntos cerrados de una topología y, por lo tanto, deberían definirse con una fórmula "positiva".
Para $a, b \in G$, uno podría mirar los subgrupos definidos por la ecuación $gag \neq b$, o más generalmente por la ecuación $w(g)\neq 1$ para alguna palabra $w(x)$. Creo que todos esos subgrupos deben ser definidos por fórmulas positivas. ¿Alguna idea, contraejemplos o investigaciones conocidas?
La pregunta es, por supuesto, interesante solo para subgrupos infinitos.
