Necesito ayuda para calcular la integral con parámetro

Question

$$I(a) = \int_0^{\pi/4} \arctan\left( a\sqrt{1-\tan^2(x)}\right)dx$$

Realmente no tengo idea de cómo resolver este problema.

Answer 1

Esquema:

1. Sustituir $\tan{x}=(1+v^2)^{-1/2}$, entonces $$dx=-\frac{v \, dv}{(2+v^2)\sqrt{1+v^2}}$$, y los límites cambian a $\infty$ y $0$. La integral se convierte en $$ I(a) = \int_0^{\infty} \frac{v}{(2+v^2)\sqrt{1+v^2}} \arctan{\left( \frac{av}{\sqrt{1+v^2}} \right)} \, dv $$

2. Me siento bastante consternado por esta expresión.

3. Diferenciar con respecto a $a$ y simplificar: $$ I'(a) = \int_0^{\infty} \frac{v}{(2+v^2)\sqrt{1+v^2}} \frac{v}{\sqrt{1+v^2}(1+a^2v^2/(1+v^2))} \, dv \\ = \int_0^{\infty} \frac{v^2}{(2+v^2)(1+(1+a^2)v^2)} \, dv $$

4. Hacer fracciones parciales e integrar para obtener $$ I'(a) = \frac{\pi}{2(1+2a^2)}\left( \sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} \right) .$$

5. Integrar esto de $0$ a $a$. (La sustitución $A=\tan{\theta}/\sqrt{1+\tan^2{\theta}}$ es un buen comienzo.) Uno encuentra $$ I(a) = \frac{\pi}{2}\left( \arctan{\sqrt{2}a} - \arctan{\left( \frac{a}{\sqrt{1+a^2}} \right)} \right). $$

Answer 2

Tomamos la derivada con respecto a $a$: obtenemos

$$I'(a) = \int_0^{\pi/4} \frac{\sqrt{1-\tan^2(x)}}{a^2 (1 - \tan^2(x))+1}\; dx $$

que según Maple es

$$ {\frac {\pi\, \left( \sqrt {2}\sqrt {{a}^{2}+1}-1 \right) }{\sqrt {{a} ^{2}+1} \left( 4\,{a}^{2}+2 \right) }} $$

Por supuesto $I(0) = 0$. Por lo tanto $$ I(a) = \int_0^a {\frac {\pi\, \left( \sqrt {2}\sqrt {{t}^{2}+1}-1 \right) }{\sqrt {{t} ^{2}+1} \left( 4\,{t}^{2}+2 \right) }} \; dt = \frac{\pi}{2} \left(\arctan(\sqrt{2}a) - \arctan\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\right)\right)$$