Ejemplo de continuidad de medida y convergencia en medida

Question

¿Lo siguiente es correcto?

Dado que $f_n \to f$ casi en todas partes, tenemos que $f_n \to f$ en medida. Utilizando la continuidad de la medida, tenemos que:

fijamos $k$; entonces $\{x :|f_m(x)-f(x)|>\frac{1}{k}\}$ es una secuencia creciente. así

\begin{align} \lim_{n\to\infty}m(E_{n,k}) &= \lim_{n\to\infty} m\bigg(\bigcup_{m=n}^{\infty}\{x :|f_m(x)-f(x)|>\frac{1}{k}\}\bigg) \\ &\leq \lim_{n\to\infty} \sum_{m=n}^{\infty}m\bigg(\{x :|f_m(x)-f(x)|>\frac{1}{k}\}\bigg)\\ &=\lim_{m\to\infty} m\bigg(\{x :|f_m(x)-f(x)|>\frac{1}{k}\}\bigg) = 0 \text{ por convergencia en medida} \end{align}

Answer 1

arregla $k$; entonces $\{x :|f_m(x)-f(x)|>\frac{1}{k}\}$ es una secuencia creciente.

Aquí, parece que estás afirmando que $\{x : |f_m(x)-f(x)|>\frac{1}{k}\}$ es una secuencia creciente con respecto a $m.$ No hay razón para que esto sea cierto.

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{m=n}^{\infty}m\bigg(\{x :|f_m(x)-f(x)|>\frac{1}{k}\}\bigg) = \lim_{m\to\infty} m\bigg(\{x :|f_m(x)-f(x)|>\frac{1}{k}\}\bigg)$$

¿Por qué? Esto tampoco será cierto en general. Si es cierto, parece que esta igualdad es equivalente a lo que estás tratando de probar, así que al menos necesitas explicar por qué esta igualdad debería ser cierta.

Answer 2

Tenga en cuenta que la igualdad en la parte inferior con $\lim_m$ y $\lim_n$ no es cierta y la serie puede que no converja también.

Aquí hay una prueba si quieres:

Sea $k \in \Bbb{N}$

La secuencia $E_{n,k}$ está disminuyendo en $n$ por lo tanto $\mu(E_{n,k}) \to \mu(\bigcap_nE_{n,k})$

Pero tenga en cuenta que $\bigcap_nE_{n,k} \subseteq \{x: f_n(x)\text{ no converge a f(x)}\}=:B$

donde $\mu(B)=0$

$B=\bigcup_{k \in \Bbb{N}}\bigcap_{n \in \Bbb{N}}E_{n,k}$